Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78548 / 61582
↖ ↑ ↗
← N 10.795537°
E 35.738526°		 ← 299.96 m → N 10.795537°
E 35.741272°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
N 10.792839°
E 35.738526°		 ← 299.96 m →
89 991 m²		 N 10.792839°
E 35.741272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599277496337891 y=0.469837188720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599277496337891 × 217)
    floor (0.599277496337891 × 131072)
    floor (78548.5)     		tx = 78548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469837188720703 × 217)
    floor (0.469837188720703 × 131072)
    floor (61582.5)     		ty = 61582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78548 / 61582 ti = "17/78548/61582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78548/61582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78548 ÷ 217
    78548 ÷ 131072     		x = 0.599273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61582 ÷ 217
    61582 ÷ 131072     		y = 0.469833374023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599273681640625 × 2 - 1) × π
    0.19854736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62375494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469833374023438 × 2 - 1) × π
    0.060333251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.189542501097702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62375494} λ = 0.62375494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189542501097702))-π/2
    2×atan(1.20869649382556)-π/2
    2×0.879606993745799-π/2
    1.7592139874916-1.57079632675     		φ = 0.18841766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62375494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.738526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18841766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.795537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78548 KachelY 61582 0.62375494 0.18841766 35.738526 10.795537
    Oben rechts KachelX + 1 78549 KachelY 61582 0.62380287 0.18841766 35.741272 10.795537
    Unten links KachelX 78548 KachelY + 1 61583 0.62375494 0.18837057 35.738526 10.792839
    Unten rechts KachelX + 1 78549 KachelY + 1 61583 0.62380287 0.18837057 35.741272 10.792839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18841766-0.18837057) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18841766-0.18837057) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62375494-0.62380287) × cos(0.18841766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.982301844605658 × 6371000     		do = 299.957685341712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62375494-0.62380287) × cos(0.18837057) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.982310663699321 × 6371000     		du = 299.960378358056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18841766)-sin(0.18837057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982301844605658-0.982310663699321)×R²
    abs(0.62380287-0.62375494)×8.81909366345912e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.81909366345912e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.81909366345912e-06×40589641000000     		ar = 89990.8261458991m²