Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78546 / 83954
↖ ↑ ↗
← S 45.061882°
E 35.733032°		 ← 215.74 m → S 45.061882°
E 35.735779°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
S 45.063822°
E 35.733032°		 ← 215.73 m →
46 538 m²		 S 45.063822°
E 35.735779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599262237548828 y=0.640522003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599262237548828 × 217)
    floor (0.599262237548828 × 131072)
    floor (78546.5)     		tx = 78546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640522003173828 × 217)
    floor (0.640522003173828 × 131072)
    floor (83954.5)     		ty = 83954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78546 / 83954 ti = "17/78546/83954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78546/83954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78546 ÷ 217
    78546 ÷ 131072     		x = 0.599258422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83954 ÷ 217
    83954 ÷ 131072     		y = 0.640518188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599258422851562 × 2 - 1) × π
    0.198516845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62365906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640518188476562 × 2 - 1) × π
    -0.281036376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.882901817202194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62365906} λ = 0.62365906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882901817202194))-π/2
    2×atan(0.413581032154005)-π/2
    2×0.392159062671864-π/2
    0.784318125343727-1.57079632675     		φ = -0.78647820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62365906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.733032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78647820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.061882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78546 KachelY 83954 0.62365906 -0.78647820 35.733032 -45.061882
    Oben rechts KachelX + 1 78547 KachelY 83954 0.62370700 -0.78647820 35.735779 -45.061882
    Unten links KachelX 78546 KachelY + 1 83955 0.62365906 -0.78651206 35.733032 -45.063822
    Unten rechts KachelX + 1 78547 KachelY + 1 83955 0.62370700 -0.78651206 35.735779 -45.063822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78647820--0.78651206) × R
    3.38599999999412e-05 × 6371000     		dl = 215.722059999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78647820--0.78651206) × R
    3.38599999999412e-05 × 6371000     		dr = 215.722059999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62365906-0.62370700) × cos(-0.78647820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70634266771684 × 6371000     		do = 215.735231980848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62365906-0.62370700) × cos(-0.78651206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706318698831369 × 6371000     		du = 215.727911266266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78647820)-sin(-0.78651206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70634266771684-0.706318698831369)×R²
    abs(0.62370700-0.62365906)×2.39688854707376e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39688854707376e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39688854707376e-05×40589641000000     		ar = 46538.0590419906m²