Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78545 / 61588
↖ ↑ ↗
← N 10.779348°
E 35.730286°		 ← 299.97 m → N 10.779348°
E 35.733032°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
N 10.776650°
E 35.730286°		 ← 299.98 m →
89 996 m²		 N 10.776650°
E 35.733032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599254608154297 y=0.469882965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599254608154297 × 217)
    floor (0.599254608154297 × 131072)
    floor (78545.5)     		tx = 78545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469882965087891 × 217)
    floor (0.469882965087891 × 131072)
    floor (61588.5)     		ty = 61588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78545 / 61588 ti = "17/78545/61588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78545/61588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78545 ÷ 217
    78545 ÷ 131072     		x = 0.599250793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61588 ÷ 217
    61588 ÷ 131072     		y = 0.469879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599250793457031 × 2 - 1) × π
    0.198501586914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.62361113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469879150390625 × 2 - 1) × π
    0.06024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.189254879699982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62361113} λ = 0.62361113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189254879699982))-π/2
    2×atan(1.20834889684115)-π/2
    2×0.879465724427675-π/2
    1.75893144885535-1.57079632675     		φ = 0.18813512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62361113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.730286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18813512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.779348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78545 KachelY 61588 0.62361113 0.18813512 35.730286 10.779348
    Oben rechts KachelX + 1 78546 KachelY 61588 0.62365906 0.18813512 35.733032 10.779348
    Unten links KachelX 78545 KachelY + 1 61589 0.62361113 0.18808803 35.730286 10.776650
    Unten rechts KachelX + 1 78546 KachelY + 1 61589 0.62365906 0.18808803 35.733032 10.776650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18813512-0.18808803) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18813512-0.18808803) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62361113-0.62365906) × cos(0.18813512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.982354726493609 × 6371000     		do = 299.973833462367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62361113-0.62365906) × cos(0.18808803) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.982363532517524 × 6371000     		du = 299.976522487706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18813512)-sin(0.18808803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982354726493609-0.982363532517524)×R²
    abs(0.62365906-0.62361113)×8.80602391495344e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.80602391495344e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.80602391495344e-06×40589641000000     		ar = 89995.6701512432m²