Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78545 / 61586
↖ ↑ ↗
← N 10.784744°
E 35.730286°		 ← 299.97 m → N 10.784744°
E 35.733032°		 →
↑
300.01 m
↓
↑
300.01 m
↓
N 10.782046°
E 35.730286°		 ← 299.97 m →
89 994 m²		 N 10.782046°
E 35.733032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599254608154297 y=0.469867706298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599254608154297 × 217)
    floor (0.599254608154297 × 131072)
    floor (78545.5)     		tx = 78545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469867706298828 × 217)
    floor (0.469867706298828 × 131072)
    floor (61586.5)     		ty = 61586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78545 / 61586 ti = "17/78545/61586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78545/61586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78545 ÷ 217
    78545 ÷ 131072     		x = 0.599250793457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61586 ÷ 217
    61586 ÷ 131072     		y = 0.469863891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599250793457031 × 2 - 1) × π
    0.198501586914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.62361113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469863891601562 × 2 - 1) × π
    0.060272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.189350753499222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62361113} λ = 0.62361113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.189350753499222))-π/2
    2×atan(1.20846475139432)-π/2
    2×0.87951281504531-π/2
    1.75902563009062-1.57079632675     		φ = 0.18822930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62361113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.730286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18822930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.784744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78545 KachelY 61586 0.62361113 0.18822930 35.730286 10.784744
    Oben rechts KachelX + 1 78546 KachelY 61586 0.62365906 0.18822930 35.733032 10.784744
    Unten links KachelX 78545 KachelY + 1 61587 0.62361113 0.18818221 35.730286 10.782046
    Unten rechts KachelX + 1 78546 KachelY + 1 61587 0.62365906 0.18818221 35.733032 10.782046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18822930-0.18818221) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dl = 300.010389999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18822930-0.18818221) × R
    4.70899999999996e-05 × 6371000     		dr = 300.010389999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62361113-0.62365906) × cos(0.18822930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.982337107910778 × 6371000     		do = 299.968453416148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62361113-0.62365906) × cos(0.18818221) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.982345918291354 × 6371000     		du = 299.971143771846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18822930)-sin(0.18818221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982337107910778-0.982345918291354)×R²
    abs(0.62365906-0.62361113)×8.81038057598538e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.81038057598538e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.81038057598538e-06×40589641000000     		ar = 89994.0562810568m²