Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78542 / 83983
↖ ↑ ↗
← S 45.118114°
E 35.722046°		 ← 215.48 m → S 45.118114°
E 35.724792°		 →
↑
215.53 m
↓
↑
215.53 m
↓
S 45.120053°
E 35.722046°		 ← 215.47 m →
46 441 m²		 S 45.120053°
E 35.724792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599231719970703 y=0.640743255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599231719970703 × 217)
    floor (0.599231719970703 × 131072)
    floor (78542.5)     		tx = 78542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640743255615234 × 217)
    floor (0.640743255615234 × 131072)
    floor (83983.5)     		ty = 83983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78542 / 83983 ti = "17/78542/83983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78542/83983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78542 ÷ 217
    78542 ÷ 131072     		x = 0.599227905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83983 ÷ 217
    83983 ÷ 131072     		y = 0.640739440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599227905273438 × 2 - 1) × π
    0.198455810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.62346732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640739440917969 × 2 - 1) × π
    -0.281478881835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.884291987291176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62346732} λ = 0.62346732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884291987291176))-π/2
    2×atan(0.413006483626353)-π/2
    2×0.391668336018589-π/2
    0.783336672037178-1.57079632675     		φ = -0.78745965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62346732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.722046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78745965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.118114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78542 KachelY 83983 0.62346732 -0.78745965 35.722046 -45.118114
    Oben rechts KachelX + 1 78543 KachelY 83983 0.62351525 -0.78745965 35.724792 -45.118114
    Unten links KachelX 78542 KachelY + 1 83984 0.62346732 -0.78749348 35.722046 -45.120053
    Unten rechts KachelX + 1 78543 KachelY + 1 83984 0.62351525 -0.78749348 35.724792 -45.120053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78745965--0.78749348) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dl = 215.530930000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78745965--0.78749348) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dr = 215.530930000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62346732-0.62351525) × cos(-0.78745965) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.70564758855816 × 6371000     		do = 215.477980106357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62346732-0.62351525) × cos(-0.78749348) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.705623617469134 × 6371000     		du = 215.470660245951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78745965)-sin(-0.78749348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70564758855816-0.705623617469134)×R²
    abs(0.62351525-0.62346732)×2.39710890259648e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39710890259648e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39710890259648e-05×40589641000000     		ar = 46441.3806230817m²