Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78537 / 83995
↖ ↑ ↗
← S 45.141367°
E 35.708313°		 ← 215.44 m → S 45.141367°
E 35.711060°		 →
↑
215.40 m
↓
↑
215.40 m
↓
S 45.143305°
E 35.708313°		 ← 215.43 m →
46 405 m²		 S 45.143305°
E 35.711060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599193572998047 y=0.640834808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599193572998047 × 217)
    floor (0.599193572998047 × 131072)
    floor (78537.5)     		tx = 78537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640834808349609 × 217)
    floor (0.640834808349609 × 131072)
    floor (83995.5)     		ty = 83995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78537 / 83995 ti = "17/78537/83995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78537/83995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78537 ÷ 217
    78537 ÷ 131072     		x = 0.599189758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83995 ÷ 217
    83995 ÷ 131072     		y = 0.640830993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599189758300781 × 2 - 1) × π
    0.198379516601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.62322763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640830993652344 × 2 - 1) × π
    -0.281661987304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.884867230086616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62322763} λ = 0.62322763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884867230086616))-π/2
    2×atan(0.412768972941881)-π/2
    2×0.391465418036474-π/2
    0.782930836072947-1.57079632675     		φ = -0.78786549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62322763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.708313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78786549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.141367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78537 KachelY 83995 0.62322763 -0.78786549 35.708313 -45.141367
    Oben rechts KachelX + 1 78538 KachelY 83995 0.62327557 -0.78786549 35.711060 -45.141367
    Unten links KachelX 78537 KachelY + 1 83996 0.62322763 -0.78789930 35.708313 -45.143305
    Unten rechts KachelX + 1 78538 KachelY + 1 83996 0.62327557 -0.78789930 35.711060 -45.143305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78786549--0.78789930) × R
    3.3810000000023e-05 × 6371000     		dl = 215.403510000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78786549--0.78789930) × R
    3.3810000000023e-05 × 6371000     		dr = 215.403510000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62322763-0.62327557) × cos(-0.78786549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705359967258562 × 6371000     		do = 215.435089966181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62322763-0.62327557) × cos(-0.78789930) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705336000660902 × 6371000     		du = 215.427769950355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78786549)-sin(-0.78789930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705359967258562-0.705336000660902)×R²
    abs(0.62327557-0.62322763)×2.3966597660241e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3966597660241e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3966597660241e-05×40589641000000     		ar = 46404.6861817072m²