Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78534 / 60022
↖ ↑ ↗
← N 14.971320°
E 35.700073°		 ← 295.06 m → N 14.971320°
E 35.702820°		 →
↑
295.04 m
↓
↑
295.04 m
↓
N 14.968667°
E 35.700073°		 ← 295.06 m →
87 055 m²		 N 14.968667°
E 35.702820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599170684814453 y=0.457935333251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599170684814453 × 217)
    floor (0.599170684814453 × 131072)
    floor (78534.5)     		tx = 78534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457935333251953 × 217)
    floor (0.457935333251953 × 131072)
    floor (60022.5)     		ty = 60022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78534 / 60022 ti = "17/78534/60022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78534/60022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78534 ÷ 217
    78534 ÷ 131072     		x = 0.599166870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60022 ÷ 217
    60022 ÷ 131072     		y = 0.457931518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599166870117188 × 2 - 1) × π
    0.198333740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62308382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457931518554688 × 2 - 1) × π
    0.084136962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.26432406450499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62308382} λ = 0.62308382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26432406450499))-π/2
    2×atan(1.30255023821097)-π/2
    2×0.916047577229719-π/2
    1.83209515445944-1.57079632675     		φ = 0.26129883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62308382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.700073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26129883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.971320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78534 KachelY 60022 0.62308382 0.26129883 35.700073 14.971320
    Oben rechts KachelX + 1 78535 KachelY 60022 0.62313176 0.26129883 35.702820 14.971320
    Unten links KachelX 78534 KachelY + 1 60023 0.62308382 0.26125252 35.700073 14.968667
    Unten rechts KachelX + 1 78535 KachelY + 1 60023 0.62313176 0.26125252 35.702820 14.968667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26129883-0.26125252) × R
    4.63099999999939e-05 × 6371000     		dl = 295.041009999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26129883-0.26125252) × R
    4.63099999999939e-05 × 6371000     		dr = 295.041009999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62308382-0.62313176) × cos(0.26129883) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.96605525916498 × 6371000     		do = 295.058142411846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62308382-0.62313176) × cos(0.26125252) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.966067221646581 × 6371000     		du = 295.061796061641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26129883)-sin(0.26125252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96605525916498-0.966067221646581)×R²
    abs(0.62313176-0.62308382)×1.19624816008468e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.19624816008468e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.19624816008468e-05×40589641000000     		ar = 87054.7913497066m²