Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78529 / 61501
↖ ↑ ↗
← N 11.013992°
E 35.686341°		 ← 299.74 m → N 11.013992°
E 35.689087°		 →
↑
299.76 m
↓
↑
299.76 m
↓
N 11.011297°
E 35.686341°		 ← 299.74 m →
89 848 m²		 N 11.011297°
E 35.689087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599132537841797 y=0.469219207763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599132537841797 × 217)
    floor (0.599132537841797 × 131072)
    floor (78529.5)     		tx = 78529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469219207763672 × 217)
    floor (0.469219207763672 × 131072)
    floor (61501.5)     		ty = 61501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78529 / 61501 ti = "17/78529/61501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78529/61501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78529 ÷ 217
    78529 ÷ 131072     		x = 0.599128723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61501 ÷ 217
    61501 ÷ 131072     		y = 0.469215393066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599128723144531 × 2 - 1) × π
    0.198257446289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.62284414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469215393066406 × 2 - 1) × π
    0.0615692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.193425389966927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62284414} λ = 0.62284414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.193425389966927))-π/2
    2×atan(1.21339885144569)-π/2
    2×0.881513380247446-π/2
    1.76302676049489-1.57079632675     		φ = 0.19223043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62284414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.686341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19223043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.013992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78529 KachelY 61501 0.62284414 0.19223043 35.686341 11.013992
    Oben rechts KachelX + 1 78530 KachelY 61501 0.62289207 0.19223043 35.689087 11.013992
    Unten links KachelX 78529 KachelY + 1 61502 0.62284414 0.19218338 35.686341 11.011297
    Unten rechts KachelX + 1 78530 KachelY + 1 61502 0.62289207 0.19218338 35.689087 11.011297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19223043-0.19218338) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dl = 299.755550000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19223043-0.19218338) × R
    4.70500000000207e-05 × 6371000     		dr = 299.755550000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62284414-0.62289207) × cos(0.19223043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.981580556276258 × 6371000     		do = 299.737431273231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62284414-0.62289207) × cos(0.19218338) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.981589544031836 × 6371000     		du = 299.740175792519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19223043)-sin(0.19218338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981580556276258-0.981589544031836)×R²
    abs(0.62289207-0.62284414)×8.98775557833797e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.98775557833797e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.98775557833797e-06×40589641000000     		ar = 89848.3699259496m²