Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7852 / 4924
↖ ↑ ↗
← N 77.322168°
W 93.735352°		 ← 268.11 m → N 77.322168°
W 93.724365°		 →
↑
268.16 m
↓
↑
268.16 m
↓
N 77.319757°
W 93.735352°		 ← 268.16 m →
71 902 m²		 N 77.319757°
W 93.724365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.239639282226562 y=0.150283813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.239639282226562 × 215)
    floor (0.239639282226562 × 32768)
    floor (7852.5)     		tx = 7852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150283813476562 × 215)
    floor (0.150283813476562 × 32768)
    floor (4924.5)     		ty = 4924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7852 / 4924 ti = "15/7852/4924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7852/4924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7852 ÷ 215
    7852 ÷ 32768     		x = 0.2396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4924 ÷ 215
    4924 ÷ 32768     		y = 0.1502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.63599051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1502685546875 × 2 - 1) × π
    0.699462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19742747858337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63599051} λ = -1.63599051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19742747858337))-π/2
    2×atan(9.00182629649705)-π/2
    2×1.46016137306605-π/2
    2.9203227461321-1.57079632675     		φ = 1.34952642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63599051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.735352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34952642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.322168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7852 KachelY 4924 -1.63599051 1.34952642 -93.735352 77.322168
    Oben rechts KachelX + 1 7853 KachelY 4924 -1.63579876 1.34952642 -93.724365 77.322168
    Unten links KachelX 7852 KachelY + 1 4925 -1.63599051 1.34948433 -93.735352 77.319757
    Unten rechts KachelX + 1 7853 KachelY + 1 4925 -1.63579876 1.34948433 -93.724365 77.319757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34952642-1.34948433) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dl = 268.155389999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34952642-1.34948433) × R
    4.20899999999946e-05 × 6371000     		dr = 268.155389999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63599051--1.63579876) × cos(1.34952642) × R
    0.000191750000000157 × 0.219468745584377 × 6371000     		do = 268.111633754358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63599051--1.63579876) × cos(1.34948433) × R
    0.000191750000000157 × 0.219509809216032 × 6371000     		du = 268.161798698536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34952642)-sin(1.34948433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219468745584377-0.219509809216032)×R²
    abs(-1.63579876--1.63599051)×4.10636316552915e-05×R²
    0.000191750000000157×4.10636316552915e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.10636316552915e-05×40589641000000     		ar = 71902.3057237544m²