Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7852 / 3908
↖ ↑ ↗
← N 68.106101°
W  7.470703°		 ← 911.07 m → N 68.106101°
W  7.448730°		 →
↑
911.18 m
↓
↑
911.18 m
↓
N 68.097907°
W  7.470703°		 ← 911.40 m →
830 298 m²		 N 68.097907°
W  7.448730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479278564453125 y=0.238555908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479278564453125 × 214)
    floor (0.479278564453125 × 16384)
    floor (7852.5)     		tx = 7852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238555908203125 × 214)
    floor (0.238555908203125 × 16384)
    floor (3908.5)     		ty = 3908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7852 / 3908 ti = "14/7852/3908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7852/3908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7852 ÷ 214
    7852 ÷ 16384     		x = 0.479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3908 ÷ 214
    3908 ÷ 16384     		y = 0.238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.04150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13038837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238525390625 × 2 - 1) × π
    0.52294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64289342377856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13038837} λ = -0.13038837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64289342377856))-π/2
    2×atan(5.17010720239646)-π/2
    2×1.37973601949042-π/2
    2.75947203898084-1.57079632675     		φ = 1.18867571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13038837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18867571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.106101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7852 KachelY 3908 -0.13038837 1.18867571 -7.470703 68.106101
    Oben rechts KachelX + 1 7853 KachelY 3908 -0.13000487 1.18867571 -7.448730 68.106101
    Unten links KachelX 7852 KachelY + 1 3909 -0.13038837 1.18853269 -7.470703 68.097907
    Unten rechts KachelX + 1 7853 KachelY + 1 3909 -0.13000487 1.18853269 -7.448730 68.097907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18867571-1.18853269) × R
    0.000143020000000105 × 6371000     		dl = 911.180420000667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18867571-1.18853269) × R
    0.000143020000000105 × 6371000     		dr = 911.180420000667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13038837--0.13000487) × cos(1.18867571) × R
    0.000383500000000009 × 0.372888975742732 × 6371000     		do = 911.071617319259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13038837--0.13000487) × cos(1.18853269) × R
    0.000383500000000009 × 0.373021676749536 × 6371000     		du = 911.395842836112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18867571)-sin(1.18853269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372888975742732-0.373021676749536)×R²
    abs(-0.13000487--0.13038837)×0.00013270100680407×R²
    0.000383500000000009×0.00013270100680407×6371000²
    0.000383500000000009×0.00013270100680407×40589641000000     		ar = 830298.334306083m²