Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7852 / 3378
↖ ↑ ↗
← N 72.060381°
W  7.470703°		 ← 752.57 m → N 72.060381°
W  7.448730°		 →
↑
752.67 m
↓
↑
752.67 m
↓
N 72.053612°
W  7.470703°		 ← 752.84 m →
566 537 m²		 N 72.053612°
W  7.448730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479278564453125 y=0.206207275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479278564453125 × 214)
    floor (0.479278564453125 × 16384)
    floor (7852.5)     		tx = 7852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206207275390625 × 214)
    floor (0.206207275390625 × 16384)
    floor (3378.5)     		ty = 3378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7852 / 3378 ti = "14/7852/3378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7852/3378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7852 ÷ 214
    7852 ÷ 16384     		x = 0.479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3378 ÷ 214
    3378 ÷ 16384     		y = 0.2061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.04150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13038837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2061767578125 × 2 - 1) × π
    0.587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8461458781676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13038837} λ = -0.13038837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8461458781676))-π/2
    2×atan(6.33535517789548)-π/2
    2×1.41424361450221-π/2
    2.82848722900443-1.57079632675     		φ = 1.25769090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13038837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25769090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.060381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7852 KachelY 3378 -0.13038837 1.25769090 -7.470703 72.060381
    Oben rechts KachelX + 1 7853 KachelY 3378 -0.13000487 1.25769090 -7.448730 72.060381
    Unten links KachelX 7852 KachelY + 1 3379 -0.13038837 1.25757276 -7.470703 72.053612
    Unten rechts KachelX + 1 7853 KachelY + 1 3379 -0.13000487 1.25757276 -7.448730 72.053612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25769090-1.25757276) × R
    0.0001181400000001 × 6371000     		dl = 752.669940000636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25769090-1.25757276) × R
    0.0001181400000001 × 6371000     		dr = 752.669940000636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13038837--0.13000487) × cos(1.25769090) × R
    0.000383500000000009 × 0.308014562933598 × 6371000     		do = 752.565359302575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13038837--0.13000487) × cos(1.25757276) × R
    0.000383500000000009 × 0.308126957011052 × 6371000     		du = 752.839969335544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25769090)-sin(1.25757276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308014562933598-0.308126957011052)×R²
    abs(-0.13000487--0.13038837)×0.000112394077453504×R²
    0.000383500000000009×0.000112394077453504×6371000²
    0.000383500000000009×0.000112394077453504×40589641000000     		ar = 566536.669850838m²