Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78513 / 59985
↖ ↑ ↗
← N 15.069471°
E 35.642395°		 ← 294.86 m → N 15.069471°
E 35.645141°		 →
↑
294.91 m
↓
↑
294.91 m
↓
N 15.066819°
E 35.642395°		 ← 294.86 m →
86 959 m²		 N 15.066819°
E 35.645141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599010467529297 y=0.457653045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599010467529297 × 217)
    floor (0.599010467529297 × 131072)
    floor (78513.5)     		tx = 78513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457653045654297 × 217)
    floor (0.457653045654297 × 131072)
    floor (59985.5)     		ty = 59985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78513 / 59985 ti = "17/78513/59985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78513/59985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78513 ÷ 217
    78513 ÷ 131072     		x = 0.599006652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59985 ÷ 217
    59985 ÷ 131072     		y = 0.457649230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.599006652832031 × 2 - 1) × π
    0.198013305664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.62207715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457649230957031 × 2 - 1) × π
    0.0847015380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.266097729790932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62207715} λ = 0.62207715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266097729790932))-π/2
    2×atan(1.30486257640247)-π/2
    2×0.916904109902991-π/2
    1.83380821980598-1.57079632675     		φ = 0.26301189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62207715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.642395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26301189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.069471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78513 KachelY 59985 0.62207715 0.26301189 35.642395 15.069471
    Oben rechts KachelX + 1 78514 KachelY 59985 0.62212508 0.26301189 35.645141 15.069471
    Unten links KachelX 78513 KachelY + 1 59986 0.62207715 0.26296560 35.642395 15.066819
    Unten rechts KachelX + 1 78514 KachelY + 1 59986 0.62212508 0.26296560 35.645141 15.066819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26301189-0.26296560) × R
    4.62900000000044e-05 × 6371000     		dl = 294.913590000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26301189-0.26296560) × R
    4.62900000000044e-05 × 6371000     		dr = 294.913590000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62207715-0.62212508) × cos(0.26301189) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.965611297670718 × 6371000     		do = 294.861026047845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62207715-0.62212508) × cos(0.26296560) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.965623331575207 × 6371000     		du = 294.864700745349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26301189)-sin(0.26296560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965611297670718-0.965623331575207)×R²
    abs(0.62212508-0.62207715)×1.20339044898943e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.20339044898943e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.20339044898943e-05×40589641000000     		ar = 86959.0656174728m²