Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78512 / 59984
↖ ↑ ↗
← N 15.072123°
E 35.639648°		 ← 294.92 m → N 15.072123°
E 35.642395°		 →
↑
294.91 m
↓
↑
294.91 m
↓
N 15.069471°
E 35.639648°		 ← 294.92 m →
86 976 m²		 N 15.069471°
E 35.642395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.599002838134766 y=0.457645416259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.599002838134766 × 217)
    floor (0.599002838134766 × 131072)
    floor (78512.5)     		tx = 78512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457645416259766 × 217)
    floor (0.457645416259766 × 131072)
    floor (59984.5)     		ty = 59984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78512 / 59984 ti = "17/78512/59984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78512/59984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78512 ÷ 217
    78512 ÷ 131072     		x = 0.5989990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59984 ÷ 217
    59984 ÷ 131072     		y = 0.4576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5989990234375 × 2 - 1) × π
    0.197998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.62202921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4576416015625 × 2 - 1) × π
    0.084716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.266145666690552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62202921} λ = 0.62202921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266145666690552))-π/2
    2×atan(1.30492512896809)-π/2
    2×0.916927253964664-π/2
    1.83385450792933-1.57079632675     		φ = 0.26305818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62202921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.639648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26305818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.072123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78512 KachelY 59984 0.62202921 0.26305818 35.639648 15.072123
    Oben rechts KachelX + 1 78513 KachelY 59984 0.62207715 0.26305818 35.642395 15.072123
    Unten links KachelX 78512 KachelY + 1 59985 0.62202921 0.26301189 35.639648 15.069471
    Unten rechts KachelX + 1 78513 KachelY + 1 59985 0.62207715 0.26301189 35.642395 15.069471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26305818-0.26301189) × R
    4.62899999999489e-05 × 6371000     		dl = 294.913589999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26305818-0.26301189) × R
    4.62899999999489e-05 × 6371000     		dr = 294.913589999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62202921-0.62207715) × cos(0.26305818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96559926169715 × 6371000     		do = 294.918869047112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62202921-0.62207715) × cos(0.26301189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965611297670718 × 6371000     		du = 294.922545143246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26305818)-sin(0.26301189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96559926169715-0.965611297670718)×R²
    abs(0.62207715-0.62202921)×1.20359735670261e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20359735670261e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20359735670261e-05×40589641000000     		ar = 86976.1245103128m²