Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7851 / 4245
↖ ↑ ↗
← N 65.173806°
W  7.492676°		 ← 1 025.83 m → N 65.173806°
W  7.470703°		 →
↑
1 025.99 m
↓
↑
1 025.99 m
↓
N 65.164579°
W  7.492676°		 ← 1 026.18 m →
1 052 666 m²		 N 65.164579°
W  7.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479217529296875 y=0.259124755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479217529296875 × 214)
    floor (0.479217529296875 × 16384)
    floor (7851.5)     		tx = 7851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259124755859375 × 214)
    floor (0.259124755859375 × 16384)
    floor (4245.5)     		ty = 4245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7851 / 4245 ti = "14/7851/4245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7851/4245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7851 ÷ 214
    7851 ÷ 16384     		x = 0.47918701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4245 ÷ 214
    4245 ÷ 16384     		y = 0.25909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47918701171875 × 2 - 1) × π
    -0.0416259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13077186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25909423828125 × 2 - 1) × π
    0.4818115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51365554240289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13077186} λ = -0.13077186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51365554240289))-π/2
    2×atan(4.54330873289717)-π/2
    2×1.35414691449918-π/2
    2.70829382899836-1.57079632675     		φ = 1.13749750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13077186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.492676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13749750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.173806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7851 KachelY 4245 -0.13077186 1.13749750 -7.492676 65.173806
    Oben rechts KachelX + 1 7852 KachelY 4245 -0.13038837 1.13749750 -7.470703 65.173806
    Unten links KachelX 7851 KachelY + 1 4246 -0.13077186 1.13733646 -7.492676 65.164579
    Unten rechts KachelX + 1 7852 KachelY + 1 4246 -0.13038837 1.13733646 -7.470703 65.164579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13749750-1.13733646) × R
    0.000161040000000057 × 6371000     		dl = 1025.98584000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13749750-1.13733646) × R
    0.000161040000000057 × 6371000     		dr = 1025.98584000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13077186--0.13038837) × cos(1.13749750) × R
    0.000383489999999986 × 0.419867049315637 × 6371000     		do = 1025.82538472159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13077186--0.13038837) × cos(1.13733646) × R
    0.000383489999999986 × 0.420013201459149 × 6371000     		du = 1026.18246580021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13749750)-sin(1.13733646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419867049315637-0.420013201459149)×R²
    abs(-0.13038837--0.13077186)×0.00014615214351188×R²
    0.000383489999999986×0.00014615214351188×6371000²
    0.000383489999999986×0.00014615214351188×40589641000000     		ar = 1052665.50137663m²