Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78507 / 60085
↖ ↑ ↗
← N 14.804094°
E 35.625915°		 ← 295.29 m → N 14.804094°
E 35.628662°		 →
↑
295.23 m
↓
↑
295.23 m
↓
N 14.801439°
E 35.625915°		 ← 295.29 m →
87 179 m²		 N 14.801439°
E 35.628662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598964691162109 y=0.458415985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598964691162109 × 217)
    floor (0.598964691162109 × 131072)
    floor (78507.5)     		tx = 78507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458415985107422 × 217)
    floor (0.458415985107422 × 131072)
    floor (60085.5)     		ty = 60085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78507 / 60085 ti = "17/78507/60085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78507/60085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78507 ÷ 217
    78507 ÷ 131072     		x = 0.598960876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60085 ÷ 217
    60085 ÷ 131072     		y = 0.458412170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598960876464844 × 2 - 1) × π
    0.197921752929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.62178952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458412170410156 × 2 - 1) × π
    0.0831756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.261304039828926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62178952} λ = 0.62178952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261304039828926))-π/2
    2×atan(1.2986224383613)-π/2
    2×0.914588254746108-π/2
    1.82917650949222-1.57079632675     		φ = 0.25838018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62178952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.625915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25838018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.804094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78507 KachelY 60085 0.62178952 0.25838018 35.625915 14.804094
    Oben rechts KachelX + 1 78508 KachelY 60085 0.62183746 0.25838018 35.628662 14.804094
    Unten links KachelX 78507 KachelY + 1 60086 0.62178952 0.25833384 35.625915 14.801439
    Unten rechts KachelX + 1 78508 KachelY + 1 60086 0.62183746 0.25833384 35.628662 14.801439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25838018-0.25833384) × R
    4.63400000000336e-05 × 6371000     		dl = 295.232140000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25838018-0.25833384) × R
    4.63400000000336e-05 × 6371000     		dr = 295.232140000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62178952-0.62183746) × cos(0.25838018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966805134357107 × 6371000     		do = 295.287173596625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62178952-0.62183746) × cos(0.25833384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966816973876616 × 6371000     		du = 295.290789690632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25838018)-sin(0.25833384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966805134357107-0.966816973876616)×R²
    abs(0.62183746-0.62178952)×1.18395195088938e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.18395195088938e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.18395195088938e-05×40589641000000     		ar = 87178.7979847425m²