Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78502 / 60082
↖ ↑ ↗
← N 14.812060°
E 35.612183°		 ← 295.28 m → N 14.812060°
E 35.614929°		 →
↑
295.30 m
↓
↑
295.30 m
↓
N 14.809405°
E 35.612183°		 ← 295.28 m →
87 194 m²		 N 14.809405°
E 35.614929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598926544189453 y=0.458393096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598926544189453 × 217)
    floor (0.598926544189453 × 131072)
    floor (78502.5)     		tx = 78502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458393096923828 × 217)
    floor (0.458393096923828 × 131072)
    floor (60082.5)     		ty = 60082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78502 / 60082 ti = "17/78502/60082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78502/60082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78502 ÷ 217
    78502 ÷ 131072     		x = 0.598922729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60082 ÷ 217
    60082 ÷ 131072     		y = 0.458389282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598922729492188 × 2 - 1) × π
    0.197845458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.62154984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458389282226562 × 2 - 1) × π
    0.083221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.261447850527786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62154984} λ = 0.62154984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261447850527786))-π/2
    2×atan(1.2988092075911)-π/2
    2×0.914657771929613-π/2
    1.82931554385923-1.57079632675     		φ = 0.25851922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62154984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.612183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25851922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.812060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78502 KachelY 60082 0.62154984 0.25851922 35.612183 14.812060
    Oben rechts KachelX + 1 78503 KachelY 60082 0.62159778 0.25851922 35.614929 14.812060
    Unten links KachelX 78502 KachelY + 1 60083 0.62154984 0.25847287 35.612183 14.809405
    Unten rechts KachelX + 1 78503 KachelY + 1 60083 0.62159778 0.25847287 35.614929 14.809405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25851922-0.25847287) × R
    4.63499999999728e-05 × 6371000     		dl = 295.295849999827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25851922-0.25847287) × R
    4.63499999999728e-05 × 6371000     		dr = 295.295849999827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62154984-0.62159778) × cos(0.25851922) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966769598229019 × 6371000     		do = 295.276319948407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62154984-0.62159778) × cos(0.25847287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966781446533731 × 6371000     		du = 295.279938725642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25851922)-sin(0.25847287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966769598229019-0.966781446533731)×R²
    abs(0.62159778-0.62154984)×1.18483047123474e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.18483047123474e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.18483047123474e-05×40589641000000     		ar = 87194.406204513m²