Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78501 / 60077
↖ ↑ ↗
← N 14.825336°
E 35.609436°		 ← 295.26 m → N 14.825336°
E 35.612183°		 →
↑
295.23 m
↓
↑
295.23 m
↓
N 14.822681°
E 35.609436°		 ← 295.26 m →
87 170 m²		 N 14.822681°
E 35.612183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598918914794922 y=0.458354949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598918914794922 × 217)
    floor (0.598918914794922 × 131072)
    floor (78501.5)     		tx = 78501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458354949951172 × 217)
    floor (0.458354949951172 × 131072)
    floor (60077.5)     		ty = 60077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78501 / 60077 ti = "17/78501/60077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78501/60077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78501 ÷ 217
    78501 ÷ 131072     		x = 0.598915100097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60077 ÷ 217
    60077 ÷ 131072     		y = 0.458351135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598915100097656 × 2 - 1) × π
    0.197830200195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.62150190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458351135253906 × 2 - 1) × π
    0.0832977294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.261687535025887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62150190} λ = 0.62150190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261687535025887))-π/2
    2×atan(1.29912054933456)-π/2
    2×0.914773628222038-π/2
    1.82954725644408-1.57079632675     		φ = 0.25875093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62150190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.609436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25875093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.825336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78501 KachelY 60077 0.62150190 0.25875093 35.609436 14.825336
    Oben rechts KachelX + 1 78502 KachelY 60077 0.62154984 0.25875093 35.612183 14.825336
    Unten links KachelX 78501 KachelY + 1 60078 0.62150190 0.25870459 35.609436 14.822681
    Unten rechts KachelX + 1 78502 KachelY + 1 60078 0.62154984 0.25870459 35.612183 14.822681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25875093-0.25870459) × R
    4.63399999999781e-05 × 6371000     		dl = 295.23213999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25875093-0.25870459) × R
    4.63399999999781e-05 × 6371000     		dr = 295.23213999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62150190-0.62154984) × cos(0.25875093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.966710335786905 × 6371000     		do = 295.25821967317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62150190-0.62154984) × cos(0.25870459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96672219191595 × 6371000     		du = 295.261840840157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25875093)-sin(0.25870459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966710335786905-0.96672219191595)×R²
    abs(0.62154984-0.62150190)×1.18561290451957e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.18561290451957e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.18561290451957e-05×40589641000000     		ar = 87170.2506046856m²