Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78500 / 60080
↖ ↑ ↗
← N 14.817370°
E 35.606690°		 ← 295.21 m → N 14.817370°
E 35.609436°		 →
↑
295.23 m
↓
↑
295.23 m
↓
N 14.814715°
E 35.606690°		 ← 295.21 m →
87 155 m²		 N 14.814715°
E 35.609436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598911285400391 y=0.458377838134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598911285400391 × 217)
    floor (0.598911285400391 × 131072)
    floor (78500.5)     		tx = 78500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458377838134766 × 217)
    floor (0.458377838134766 × 131072)
    floor (60080.5)     		ty = 60080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78500 / 60080 ti = "17/78500/60080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78500/60080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78500 ÷ 217
    78500 ÷ 131072     		x = 0.598907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60080 ÷ 217
    60080 ÷ 131072     		y = 0.4583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598907470703125 × 2 - 1) × π
    0.19781494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.62145397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4583740234375 × 2 - 1) × π
    0.083251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.261543724327026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62145397} λ = 0.62145397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.261543724327026))-π/2
    2×atan(1.2989337353337)-π/2
    2×0.914704115298827-π/2
    1.82940823059765-1.57079632675     		φ = 0.25861190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62145397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.606690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25861190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.817370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78500 KachelY 60080 0.62145397 0.25861190 35.606690 14.817370
    Oben rechts KachelX + 1 78501 KachelY 60080 0.62150190 0.25861190 35.609436 14.817370
    Unten links KachelX 78500 KachelY + 1 60081 0.62145397 0.25856556 35.606690 14.814715
    Unten rechts KachelX + 1 78501 KachelY + 1 60081 0.62150190 0.25856556 35.609436 14.814715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25861190-0.25856556) × R
    4.63399999999781e-05 × 6371000     		dl = 295.23213999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25861190-0.25856556) × R
    4.63399999999781e-05 × 6371000     		dr = 295.23213999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62145397-0.62150190) × cos(0.25861190) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.966745900503599 × 6371000     		do = 295.207490672138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62145397-0.62150190) × cos(0.25856556) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.966757750404315 × 6371000     		du = 295.211109181876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25861190)-sin(0.25856556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966745900503599-0.966757750404315)×R²
    abs(0.62150190-0.62145397)×1.1849900715899e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.1849900715899e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.1849900715899e-05×40589641000000     		ar = 87155.2733808342m²