Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7850 / 9622
↖ ↑ ↗
← S 29.954935°
W  7.514649°		 ← 2 116.90 m → S 29.954935°
W  7.492676°		 →
↑
2 116.64 m
↓
↑
2 116.64 m
↓
S 29.973970°
W  7.514649°		 ← 2 116.50 m →
4 480 284 m²		 S 29.973970°
W  7.492676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479156494140625 y=0.587310791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479156494140625 × 214)
    floor (0.479156494140625 × 16384)
    floor (7850.5)     		tx = 7850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587310791015625 × 214)
    floor (0.587310791015625 × 16384)
    floor (9622.5)     		ty = 9622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7850 / 9622 ti = "14/7850/9622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7850/9622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7850 ÷ 214
    7850 ÷ 16384     		x = 0.4791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9622 ÷ 214
    9622 ÷ 16384     		y = 0.5872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4791259765625 × 2 - 1) × π
    -0.041748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13115536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5872802734375 × 2 - 1) × π
    -0.174560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.548398131653442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13115536} λ = -0.13115536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548398131653442))-π/2
    2×atan(0.577874748636164)-π/2
    2×0.523992045848786-π/2
    1.04798409169757-1.57079632675     		φ = -0.52281224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13115536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.514649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52281224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.954935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7850 KachelY 9622 -0.13115536 -0.52281224 -7.514649 -29.954935
    Oben rechts KachelX + 1 7851 KachelY 9622 -0.13077186 -0.52281224 -7.492676 -29.954935
    Unten links KachelX 7850 KachelY + 1 9623 -0.13115536 -0.52314447 -7.514649 -29.973970
    Unten rechts KachelX + 1 7851 KachelY + 1 9623 -0.13077186 -0.52314447 -7.492676 -29.973970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52281224--0.52314447) × R
    0.000332229999999933 × 6371000     		dl = 2116.63732999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52281224--0.52314447) × R
    0.000332229999999933 × 6371000     		dr = 2116.63732999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13115536--0.13077186) × cos(-0.52281224) × R
    0.000383500000000009 × 0.866418403664834 × 6371000     		do = 2116.90145767866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13115536--0.13077186) × cos(-0.52314447) × R
    0.000383500000000009 × 0.866252467204736 × 6371000     		du = 2116.49602869333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52281224)-sin(-0.52314447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866418403664834-0.866252467204736)×R²
    abs(-0.13077186--0.13115536)×0.000165936460098881×R²
    0.000383500000000009×0.000165936460098881×6371000²
    0.000383500000000009×0.000165936460098881×40589641000000     		ar = 4480283.61740118m²