Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 785 / 911
↖ ↑ ↗
← N 19.476950°
W 42.011719°		 ← 18.427 km → N 19.476950°
W 41.835938°		 →
↑
18.437 km
↓
↑
18.437 km
↓
N 19.311143°
W 42.011719°		 ← 18.446 km →
339.919 km²		 N 19.311143°
W 41.835938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383544921875 y=0.445068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383544921875 × 211)
    floor (0.383544921875 × 2048)
    floor (785.5)     		tx = 785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445068359375 × 211)
    floor (0.445068359375 × 2048)
    floor (911.5)     		ty = 911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 785 / 911 ti = "11/785/911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/785/911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 785 ÷ 211
    785 ÷ 2048     		x = 0.38330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 911 ÷ 211
    911 ÷ 2048     		y = 0.44482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38330078125 × 2 - 1) × π
    -0.2333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73324282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    0.1103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.346679658052246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73324282} λ = -0.73324282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346679658052246))-π/2
    2×atan(1.41436357281067)-π/2
    2×0.955366618067884-π/2
    1.91073323613577-1.57079632675     		φ = 0.33993691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73324282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33993691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.476950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 785 KachelY 911 -0.73324282 0.33993691 -42.011719 19.476950
    Oben rechts KachelX + 1 786 KachelY 911 -0.73017486 0.33993691 -41.835938 19.476950
    Unten links KachelX 785 KachelY + 1 912 -0.73324282 0.33704303 -42.011719 19.311143
    Unten rechts KachelX + 1 786 KachelY + 1 912 -0.73017486 0.33704303 -41.835938 19.311143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33993691-0.33704303) × R
    0.00289387999999996 × 6371000     		dl = 18436.9094799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33993691-0.33704303) × R
    0.00289387999999996 × 6371000     		dr = 18436.9094799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73324282--0.73017486) × cos(0.33993691) × R
    0.00306795999999998 × 0.94277570335273 × 6371000     		do = 18427.4685936325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73324282--0.73017486) × cos(0.33704303) × R
    0.00306795999999998 × 0.94373665385257 × 6371000     		du = 18446.2513063104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33993691)-sin(0.33704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94277570335273-0.94373665385257)×R²
    abs(-0.73017486--0.73324282)×0.000960950499840796×R²
    0.00306795999999998×0.000960950499840796×6371000²
    0.00306795999999998×0.000960950499840796×40589641000000     		ar = 339918955.215205m²