Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78497 / 84623
↖ ↑ ↗
← S 46.345031°
E 35.598450°		 ← 210.80 m → S 46.345031°
E 35.601196°		 →
↑
210.82 m
↓
↑
210.82 m
↓
S 46.346927°
E 35.598450°		 ← 210.79 m →
44 438 m²		 S 46.346927°
E 35.601196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598888397216797 y=0.645626068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598888397216797 × 217)
    floor (0.598888397216797 × 131072)
    floor (78497.5)     		tx = 78497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645626068115234 × 217)
    floor (0.645626068115234 × 131072)
    floor (84623.5)     		ty = 84623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78497 / 84623 ti = "17/78497/84623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78497/84623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78497 ÷ 217
    78497 ÷ 131072     		x = 0.598884582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84623 ÷ 217
    84623 ÷ 131072     		y = 0.645622253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598884582519531 × 2 - 1) × π
    0.197769165039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.62131016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645622253417969 × 2 - 1) × π
    -0.291244506835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.914971603048012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62131016} λ = 0.62131016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914971603048012))-π/2
    2×atan(0.400527999703708)-π/2
    2×0.380961466381724-π/2
    0.761922932763449-1.57079632675     		φ = -0.80887339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62131016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.598450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80887339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.345031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78497 KachelY 84623 0.62131016 -0.80887339 35.598450 -46.345031
    Oben rechts KachelX + 1 78498 KachelY 84623 0.62135809 -0.80887339 35.601196 -46.345031
    Unten links KachelX 78497 KachelY + 1 84624 0.62131016 -0.80890648 35.598450 -46.346927
    Unten rechts KachelX + 1 78498 KachelY + 1 84624 0.62135809 -0.80890648 35.601196 -46.346927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80887339--0.80890648) × R
    3.30899999999579e-05 × 6371000     		dl = 210.816389999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80887339--0.80890648) × R
    3.30899999999579e-05 × 6371000     		dr = 210.816389999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62131016-0.62135809) × cos(-0.80887339) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.69031398437972 × 6371000     		do = 210.795679607709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62131016-0.62135809) × cos(-0.80890648) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.690290043058574 × 6371000     		du = 210.788368837283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80887339)-sin(-0.80890648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69031398437972-0.690290043058574)×R²
    abs(0.62135809-0.62131016)×2.3941321146026e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3941321146026e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3941321146026e-05×40589641000000     		ar = 44438.413591356m²