Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78497 / 84621
↖ ↑ ↗
← S 46.341240°
E 35.598450°		 ← 210.81 m → S 46.341240°
E 35.601196°		 →
↑
210.82 m
↓
↑
210.82 m
↓
S 46.343135°
E 35.598450°		 ← 210.80 m →
44 441 m²		 S 46.343135°
E 35.601196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598888397216797 y=0.645610809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598888397216797 × 217)
    floor (0.598888397216797 × 131072)
    floor (78497.5)     		tx = 78497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645610809326172 × 217)
    floor (0.645610809326172 × 131072)
    floor (84621.5)     		ty = 84621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78497 / 84621 ti = "17/78497/84621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78497/84621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78497 ÷ 217
    78497 ÷ 131072     		x = 0.598884582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84621 ÷ 217
    84621 ÷ 131072     		y = 0.645606994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598884582519531 × 2 - 1) × π
    0.197769165039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.62131016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645606994628906 × 2 - 1) × π
    -0.291213989257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.914875729248772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62131016} λ = 0.62131016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914875729248772))-π/2
    2×atan(0.400566401685584)-π/2
    2×0.38099455904147-π/2
    0.761989118082939-1.57079632675     		φ = -0.80880721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62131016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.598450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80880721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.341240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78497 KachelY 84621 0.62131016 -0.80880721 35.598450 -46.341240
    Oben rechts KachelX + 1 78498 KachelY 84621 0.62135809 -0.80880721 35.601196 -46.341240
    Unten links KachelX 78497 KachelY + 1 84622 0.62131016 -0.80884030 35.598450 -46.343135
    Unten rechts KachelX + 1 78498 KachelY + 1 84622 0.62135809 -0.80884030 35.601196 -46.343135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80880721--0.80884030) × R
    3.30899999999579e-05 × 6371000     		dl = 210.816389999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80880721--0.80884030) × R
    3.30899999999579e-05 × 6371000     		dr = 210.816389999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62131016-0.62135809) × cos(-0.80880721) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.690361864754412 × 6371000     		do = 210.810300456122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62131016-0.62135809) × cos(-0.80884030) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.690337924945008 × 6371000     		du = 210.802990147324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80880721)-sin(-0.80884030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690361864754412-0.690337924945008)×R²
    abs(0.62135809-0.62131016)×2.39398094039611e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39398094039611e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39398094039611e-05×40589641000000     		ar = 44441.4959545191m²