Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78495 / 84620
↖ ↑ ↗
← S 46.339343°
E 35.592956°		 ← 210.86 m → S 46.339343°
E 35.595703°		 →
↑
210.88 m
↓
↑
210.88 m
↓
S 46.341240°
E 35.592956°		 ← 210.85 m →
44 466 m²		 S 46.341240°
E 35.595703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598873138427734 y=0.645603179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598873138427734 × 217)
    floor (0.598873138427734 × 131072)
    floor (78495.5)     		tx = 78495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645603179931641 × 217)
    floor (0.645603179931641 × 131072)
    floor (84620.5)     		ty = 84620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78495 / 84620 ti = "17/78495/84620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78495/84620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78495 ÷ 217
    78495 ÷ 131072     		x = 0.598869323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84620 ÷ 217
    84620 ÷ 131072     		y = 0.645599365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598869323730469 × 2 - 1) × π
    0.197738647460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.62121428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645599365234375 × 2 - 1) × π
    -0.29119873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.914827792349152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62121428} λ = 0.62121428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914827792349152))-π/2
    2×atan(0.40058560405722)-π/2
    2×0.381011106232127-π/2
    0.762022212464254-1.57079632675     		φ = -0.80877411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62121428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.592956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80877411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.339343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78495 KachelY 84620 0.62121428 -0.80877411 35.592956 -46.339343
    Oben rechts KachelX + 1 78496 KachelY 84620 0.62126222 -0.80877411 35.595703 -46.339343
    Unten links KachelX 78495 KachelY + 1 84621 0.62121428 -0.80880721 35.592956 -46.341240
    Unten rechts KachelX + 1 78496 KachelY + 1 84621 0.62126222 -0.80880721 35.595703 -46.341240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80877411--0.80880721) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dl = 210.880100000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80877411--0.80880721) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dr = 210.880100000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62121428-0.62126222) × cos(-0.80877411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690385811042319 × 6371000     		do = 210.861597222962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62121428-0.62126222) × cos(-0.80880721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690361864754412 × 6371000     		du = 210.854283410258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80877411)-sin(-0.80880721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690385811042319-0.690361864754412)×R²
    abs(0.62126222-0.62121428)×2.39462879073615e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39462879073615e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39462879073615e-05×40589641000000     		ar = 44465.7435436972m²