Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7849 / 3672
↖ ↑ ↗
← N 69.960439°
W  7.536621°		 ← 837.21 m → N 69.960439°
W  7.514649°		 →
↑
837.34 m
↓
↑
837.34 m
↓
N 69.952909°
W  7.536621°		 ← 837.52 m →
701 159 m²		 N 69.952909°
W  7.514649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479095458984375 y=0.224151611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479095458984375 × 214)
    floor (0.479095458984375 × 16384)
    floor (7849.5)     		tx = 7849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224151611328125 × 214)
    floor (0.224151611328125 × 16384)
    floor (3672.5)     		ty = 3672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7849 / 3672 ti = "14/7849/3672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7849/3672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7849 ÷ 214
    7849 ÷ 16384     		x = 0.47906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3672 ÷ 214
    3672 ÷ 16384     		y = 0.22412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47906494140625 × 2 - 1) × π
    -0.0418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13153885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22412109375 × 2 - 1) × π
    0.5517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73339829026123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13153885} λ = -0.13153885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73339829026123))-π/2
    2×atan(5.65985509479608)-π/2
    2×1.39591816908197-π/2
    2.79183633816394-1.57079632675     		φ = 1.22104001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13153885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.536621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22104001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.960439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7849 KachelY 3672 -0.13153885 1.22104001 -7.536621 69.960439
    Oben rechts KachelX + 1 7850 KachelY 3672 -0.13115536 1.22104001 -7.514649 69.960439
    Unten links KachelX 7849 KachelY + 1 3673 -0.13153885 1.22090858 -7.536621 69.952909
    Unten rechts KachelX + 1 7850 KachelY + 1 3673 -0.13115536 1.22090858 -7.514649 69.952909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22104001-1.22090858) × R
    0.000131430000000154 × 6371000     		dl = 837.340530000984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22104001-1.22090858) × R
    0.000131430000000154 × 6371000     		dr = 837.340530000984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13153885--0.13115536) × cos(1.22104001) × R
    0.000383490000000014 × 0.34266888792337 × 6371000     		do = 837.21369504726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13153885--0.13115536) × cos(1.22090858) × R
    0.000383490000000014 × 0.342792357697479 × 6371000     		du = 837.515358225481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22104001)-sin(1.22090858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34266888792337-0.342792357697479)×R²
    abs(-0.13115536--0.13153885)×0.000123469774109153×R²
    0.000383490000000014×0.000123469774109153×6371000²
    0.000383490000000014×0.000123469774109153×40589641000000     		ar = 701159.257547941m²