Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7848 / 9623
↖ ↑ ↗
← S 29.973970°
W  7.558594°		 ← 2 116.50 m → S 29.973970°
W  7.536621°		 →
↑
2 116.26 m
↓
↑
2 116.26 m
↓
S 29.993002°
W  7.558594°		 ← 2 116.09 m →
4 478 616 m²		 S 29.993002°
W  7.536621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479034423828125 y=0.587371826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479034423828125 × 214)
    floor (0.479034423828125 × 16384)
    floor (7848.5)     		tx = 7848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587371826171875 × 214)
    floor (0.587371826171875 × 16384)
    floor (9623.5)     		ty = 9623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7848 / 9623 ti = "14/7848/9623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7848/9623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7848 ÷ 214
    7848 ÷ 16384     		x = 0.47900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9623 ÷ 214
    9623 ÷ 16384     		y = 0.58734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13192235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.1746826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.548781626850403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13192235} λ = -0.13192235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548781626850403))-π/2
    2×atan(0.577653178933791)-π/2
    2×0.523825928108336-π/2
    1.04765185621667-1.57079632675     		φ = -0.52314447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13192235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.558594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52314447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.973970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7848 KachelY 9623 -0.13192235 -0.52314447 -7.558594 -29.973970
    Oben rechts KachelX + 1 7849 KachelY 9623 -0.13153885 -0.52314447 -7.536621 -29.973970
    Unten links KachelX 7848 KachelY + 1 9624 -0.13192235 -0.52347664 -7.558594 -29.993002
    Unten rechts KachelX + 1 7849 KachelY + 1 9624 -0.13153885 -0.52347664 -7.536621 -29.993002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52314447--0.52347664) × R
    0.000332170000000076 × 6371000     		dl = 2116.25507000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52314447--0.52347664) × R
    0.000332170000000076 × 6371000     		dr = 2116.25507000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13192235--0.13153885) × cos(-0.52314447) × R
    0.000383499999999981 × 0.866252467204736 × 6371000     		do = 2116.49602869318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13192235--0.13153885) × cos(-0.52347664) × R
    0.000383499999999981 × 0.866086465124141 × 6371000     		du = 2116.09043937871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52314447)-sin(-0.52347664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866252467204736-0.866086465124141)×R²
    abs(-0.13153885--0.13192235)×0.000166002080595029×R²
    0.000383499999999981×0.000166002080595029×6371000²
    0.000383499999999981×0.000166002080595029×40589641000000     		ar = 4478616.32731565m²