Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78477 / 84627
↖ ↑ ↗
← S 46.352615°
E 35.543518°		 ← 210.77 m → S 46.352615°
E 35.546264°		 →
↑
210.82 m
↓
↑
210.82 m
↓
S 46.354511°
E 35.543518°		 ← 210.76 m →
44 432 m²		 S 46.354511°
E 35.546264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598735809326172 y=0.645656585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598735809326172 × 217)
    floor (0.598735809326172 × 131072)
    floor (78477.5)     		tx = 78477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645656585693359 × 217)
    floor (0.645656585693359 × 131072)
    floor (84627.5)     		ty = 84627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78477 / 84627 ti = "17/78477/84627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78477/84627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78477 ÷ 217
    78477 ÷ 131072     		x = 0.598731994628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84627 ÷ 217
    84627 ÷ 131072     		y = 0.645652770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598731994628906 × 2 - 1) × π
    0.197463989257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.62035142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645652770996094 × 2 - 1) × π
    -0.291305541992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.915163350646492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62035142} λ = 0.62035142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915163350646492))-π/2
    2×atan(0.400451206784305)-π/2
    2×0.380895287948462-π/2
    0.761790575896924-1.57079632675     		φ = -0.80900575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62035142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.543518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80900575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.352615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78477 KachelY 84627 0.62035142 -0.80900575 35.543518 -46.352615
    Oben rechts KachelX + 1 78478 KachelY 84627 0.62039935 -0.80900575 35.546264 -46.352615
    Unten links KachelX 78477 KachelY + 1 84628 0.62035142 -0.80903884 35.543518 -46.354511
    Unten rechts KachelX + 1 78478 KachelY + 1 84628 0.62039935 -0.80903884 35.546264 -46.354511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80900575--0.80903884) × R
    3.30900000000689e-05 × 6371000     		dl = 210.816390000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80900575--0.80903884) × R
    3.30900000000689e-05 × 6371000     		dr = 210.816390000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62035142-0.62039935) × cos(-0.80900575) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.69021821456025 × 6371000     		do = 210.766435141222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62035142-0.62039935) × cos(-0.80903884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.690194270215934 × 6371000     		du = 210.759123447635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80900575)-sin(-0.80903884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69021821456025-0.690194270215934)×R²
    abs(0.62039935-0.62035142)×2.39443443159626e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39443443159626e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39443443159626e-05×40589641000000     		ar = 44432.2482814257m²