Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78475 / 84629
↖ ↑ ↗
← S 46.356406°
E 35.538025°		 ← 210.80 m → S 46.356406°
E 35.540771°		 →
↑
210.82 m
↓
↑
210.82 m
↓
S 46.358302°
E 35.538025°		 ← 210.79 m →
44 438 m²		 S 46.358302°
E 35.540771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598720550537109 y=0.645671844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598720550537109 × 217)
    floor (0.598720550537109 × 131072)
    floor (78475.5)     		tx = 78475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645671844482422 × 217)
    floor (0.645671844482422 × 131072)
    floor (84629.5)     		ty = 84629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78475 / 84629 ti = "17/78475/84629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78475/84629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78475 ÷ 217
    78475 ÷ 131072     		x = 0.598716735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84629 ÷ 217
    84629 ÷ 131072     		y = 0.645668029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598716735839844 × 2 - 1) × π
    0.197433471679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.62025554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645668029785156 × 2 - 1) × π
    -0.291336059570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.915259224445732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62025554} λ = 0.62025554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915259224445732))-π/2
    2×atan(0.400412815846072)-π/2
    2×0.380862202174916-π/2
    0.761724404349833-1.57079632675     		φ = -0.80907192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62025554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.538025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80907192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.356406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78475 KachelY 84629 0.62025554 -0.80907192 35.538025 -46.356406
    Oben rechts KachelX + 1 78476 KachelY 84629 0.62030348 -0.80907192 35.540771 -46.356406
    Unten links KachelX 78475 KachelY + 1 84630 0.62025554 -0.80910501 35.538025 -46.358302
    Unten rechts KachelX + 1 78476 KachelY + 1 84630 0.62030348 -0.80910501 35.540771 -46.358302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80907192--0.80910501) × R
    3.30899999999579e-05 × 6371000     		dl = 210.816389999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80907192--0.80910501) × R
    3.30899999999579e-05 × 6371000     		dr = 210.816389999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62025554-0.62030348) × cos(-0.80907192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69017033235236 × 6371000     		do = 210.795784484627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62025554-0.62030348) × cos(-0.80910501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690146386496845 × 6371000     		du = 210.788470803987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80907192)-sin(-0.80910501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69017033235236-0.690146386496845)×R²
    abs(0.62030348-0.62025554)×2.39458555151284e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39458555151284e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39458555151284e-05×40589641000000     		ar = 44438.4353944267m²