Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78472 / 84616
↖ ↑ ↗
← S 46.331758°
E 35.529785°		 ← 210.89 m → S 46.331758°
E 35.532532°		 →
↑
210.82 m
↓
↑
210.82 m
↓
S 46.333654°
E 35.529785°		 ← 210.88 m →
44 458 m²		 S 46.333654°
E 35.532532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598697662353516 y=0.645572662353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598697662353516 × 217)
    floor (0.598697662353516 × 131072)
    floor (78472.5)     		tx = 78472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645572662353516 × 217)
    floor (0.645572662353516 × 131072)
    floor (84616.5)     		ty = 84616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78472 / 84616 ti = "17/78472/84616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78472/84616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78472 ÷ 217
    78472 ÷ 131072     		x = 0.59869384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84616 ÷ 217
    84616 ÷ 131072     		y = 0.64556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59869384765625 × 2 - 1) × π
    0.1973876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.62011173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.2911376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.914636044750671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62011173} λ = 0.62011173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914636044750671))-π/2
    2×atan(0.400662422749448)-π/2
    2×0.381077300733362-π/2
    0.762154601466725-1.57079632675     		φ = -0.80864173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62011173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.529785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80864173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.331758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78472 KachelY 84616 0.62011173 -0.80864173 35.529785 -46.331758
    Oben rechts KachelX + 1 78473 KachelY 84616 0.62015967 -0.80864173 35.532532 -46.331758
    Unten links KachelX 78472 KachelY + 1 84617 0.62011173 -0.80867482 35.529785 -46.333654
    Unten rechts KachelX + 1 78473 KachelY + 1 84617 0.62015967 -0.80867482 35.532532 -46.333654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80864173--0.80867482) × R
    3.30900000000689e-05 × 6371000     		dl = 210.816390000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80864173--0.80867482) × R
    3.30900000000689e-05 × 6371000     		dr = 210.816390000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62011173-0.62015967) × cos(-0.80864173) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.690481574162751 × 6371000     		do = 210.890845745373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62011173-0.62015967) × cos(-0.80867482) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.690457638133847 × 6371000     		du = 210.883535066032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80864173)-sin(-0.80867482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690481574162751-0.690457638133847)×R²
    abs(0.62015967-0.62011173)×2.39360289043811e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39360289043811e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39360289043811e-05×40589641000000     		ar = 44458.4761828198m²