Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78471 / 84617
↖ ↑ ↗
← S 46.333654°
E 35.527039°		 ← 210.84 m → S 46.333654°
E 35.529785°		 →
↑
210.88 m
↓
↑
210.88 m
↓
S 46.335551°
E 35.527039°		 ← 210.83 m →
44 461 m²		 S 46.335551°
E 35.529785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598690032958984 y=0.645580291748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598690032958984 × 217)
    floor (0.598690032958984 × 131072)
    floor (78471.5)     		tx = 78471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645580291748047 × 217)
    floor (0.645580291748047 × 131072)
    floor (84617.5)     		ty = 84617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78471 / 84617 ti = "17/78471/84617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78471/84617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78471 ÷ 217
    78471 ÷ 131072     		x = 0.598686218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84617 ÷ 217
    84617 ÷ 131072     		y = 0.645576477050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598686218261719 × 2 - 1) × π
    0.197372436523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.62006380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645576477050781 × 2 - 1) × π
    -0.291152954101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.914683981650291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.62006380} λ = 0.62006380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914683981650291))-π/2
    2×atan(0.40064321669545)-π/2
    2×0.381060751247259-π/2
    0.762121502494518-1.57079632675     		φ = -0.80867482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.62006380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.527039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80867482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.333654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78471 KachelY 84617 0.62006380 -0.80867482 35.527039 -46.333654
    Oben rechts KachelX + 1 78472 KachelY 84617 0.62011173 -0.80867482 35.529785 -46.333654
    Unten links KachelX 78471 KachelY + 1 84618 0.62006380 -0.80870792 35.527039 -46.335551
    Unten rechts KachelX + 1 78472 KachelY + 1 84618 0.62011173 -0.80870792 35.529785 -46.335551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80867482--0.80870792) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dl = 210.880100000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80867482--0.80870792) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dr = 210.880100000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.62006380-0.62011173) × cos(-0.80867482) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.690457638133847 × 6371000     		do = 210.839546009198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.62006380-0.62011173) × cos(-0.80870792) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.69043369411497 × 6371000     		du = 210.832234414987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80867482)-sin(-0.80870792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690457638133847-0.69043369411497)×R²
    abs(0.62011173-0.62006380)×2.39440188763984e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39440188763984e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39440188763984e-05×40589641000000     		ar = 44461.0936154789m²