Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78467 / 84628
↖ ↑ ↗
← S 46.354511°
E 35.516052°		 ← 210.80 m → S 46.354511°
E 35.518799°		 →
↑
210.75 m
↓
↑
210.75 m
↓
S 46.356406°
E 35.516052°		 ← 210.80 m →
44 427 m²		 S 46.356406°
E 35.518799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598659515380859 y=0.645664215087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598659515380859 × 217)
    floor (0.598659515380859 × 131072)
    floor (78467.5)     		tx = 78467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645664215087891 × 217)
    floor (0.645664215087891 × 131072)
    floor (84628.5)     		ty = 84628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78467 / 84628 ti = "17/78467/84628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78467/84628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78467 ÷ 217
    78467 ÷ 131072     		x = 0.598655700683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84628 ÷ 217
    84628 ÷ 131072     		y = 0.645660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598655700683594 × 2 - 1) × π
    0.197311401367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.61987205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645660400390625 × 2 - 1) × π
    -0.29132080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.915211287546112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61987205} λ = 0.61987205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915211287546112))-π/2
    2×atan(0.400432010855103)-π/2
    2×0.380878744774767-π/2
    0.761757489549534-1.57079632675     		φ = -0.80903884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61987205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.516052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80903884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.354511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78467 KachelY 84628 0.61987205 -0.80903884 35.516052 -46.354511
    Oben rechts KachelX + 1 78468 KachelY 84628 0.61991999 -0.80903884 35.518799 -46.354511
    Unten links KachelX 78467 KachelY + 1 84629 0.61987205 -0.80907192 35.516052 -46.356406
    Unten rechts KachelX + 1 78468 KachelY + 1 84629 0.61991999 -0.80907192 35.518799 -46.356406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80903884--0.80907192) × R
    3.30800000000187e-05 × 6371000     		dl = 210.752680000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80903884--0.80907192) × R
    3.30800000000187e-05 × 6371000     		dr = 210.752680000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61987205-0.61991999) × cos(-0.80903884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690194270215934 × 6371000     		do = 210.803095724323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61987205-0.61991999) × cos(-0.80907192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69017033235236 × 6371000     		du = 210.795784484627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80903884)-sin(-0.80907192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690194270215934-0.69017033235236)×R²
    abs(0.61991999-0.61987205)×2.39378635732423e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39378635732423e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39378635732423e-05×40589641000000     		ar = 44426.5469486381m²