Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78458 / 84603
↖ ↑ ↗
← S 46.307098°
E 35.491333°		 ← 210.94 m → S 46.307098°
E 35.494079°		 →
↑
211.01 m
↓
↑
211.01 m
↓
S 46.308996°
E 35.491333°		 ← 210.93 m →
44 510 m²		 S 46.308996°
E 35.494079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598590850830078 y=0.645473480224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598590850830078 × 217)
    floor (0.598590850830078 × 131072)
    floor (78458.5)     		tx = 78458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645473480224609 × 217)
    floor (0.645473480224609 × 131072)
    floor (84603.5)     		ty = 84603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78458 / 84603 ti = "17/78458/84603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78458/84603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78458 ÷ 217
    78458 ÷ 131072     		x = 0.598587036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84603 ÷ 217
    84603 ÷ 131072     		y = 0.645469665527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598587036132812 × 2 - 1) × π
    0.197174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61944062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645469665527344 × 2 - 1) × π
    -0.290939331054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.914012865055611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61944062} λ = 0.61944062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914012865055611))-π/2
    2×atan(0.400912185251256)-π/2
    2×0.381292496275148-π/2
    0.762584992550297-1.57079632675     		φ = -0.80821133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61944062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.491333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80821133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.307098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78458 KachelY 84603 0.61944062 -0.80821133 35.491333 -46.307098
    Oben rechts KachelX + 1 78459 KachelY 84603 0.61948855 -0.80821133 35.494079 -46.307098
    Unten links KachelX 78458 KachelY + 1 84604 0.61944062 -0.80824445 35.491333 -46.308996
    Unten rechts KachelX + 1 78459 KachelY + 1 84604 0.61948855 -0.80824445 35.494079 -46.308996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80821133--0.80824445) × R
    3.31199999999976e-05 × 6371000     		dl = 211.007519999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80821133--0.80824445) × R
    3.31199999999976e-05 × 6371000     		dr = 211.007519999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61944062-0.61948855) × cos(-0.80821133) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.69079284003134 × 6371000     		do = 210.941903941564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61944062-0.61948855) × cos(-0.80824445) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.690768892146008 × 6371000     		du = 210.934591166685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80821133)-sin(-0.80824445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69079284003134-0.690768892146008)×R²
    abs(0.61948855-0.61944062)×2.39478853316655e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39478853316655e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39478853316655e-05×40589641000000     		ar = 44509.5564937248m²