Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7845 / 9867
↖ ↑ ↗
← S 34.506557°
W  7.624512°		 ← 2 013.36 m → S 34.506557°
W  7.602539°		 →
↑
2 013.17 m
↓
↑
2 013.17 m
↓
S 34.524662°
W  7.624512°		 ← 2 012.92 m →
4 052 798 m²		 S 34.524662°
W  7.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478851318359375 y=0.602264404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478851318359375 × 214)
    floor (0.478851318359375 × 16384)
    floor (7845.5)     		tx = 7845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602264404296875 × 214)
    floor (0.602264404296875 × 16384)
    floor (9867.5)     		ty = 9867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7845 / 9867 ti = "14/7845/9867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7845/9867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7845 ÷ 214
    7845 ÷ 16384     		x = 0.47882080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9867 ÷ 214
    9867 ÷ 16384     		y = 0.60223388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47882080078125 × 2 - 1) × π
    -0.0423583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13307283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60223388671875 × 2 - 1) × π
    -0.2044677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.642354454908752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13307283} λ = -0.13307283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.642354454908752))-π/2
    2×atan(0.526052398172248)-π/2
    2×0.48427165011823-π/2
    0.968543300236459-1.57079632675     		φ = -0.60225303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13307283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.624512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60225303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.506557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7845 KachelY 9867 -0.13307283 -0.60225303 -7.624512 -34.506557
    Oben rechts KachelX + 1 7846 KachelY 9867 -0.13268934 -0.60225303 -7.602539 -34.506557
    Unten links KachelX 7845 KachelY + 1 9868 -0.13307283 -0.60256902 -7.624512 -34.524662
    Unten rechts KachelX + 1 7846 KachelY + 1 9868 -0.13268934 -0.60256902 -7.602539 -34.524662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60225303--0.60256902) × R
    0.000315990000000044 × 6371000     		dl = 2013.17229000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60225303--0.60256902) × R
    0.000315990000000044 × 6371000     		dr = 2013.17229000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13307283--0.13268934) × cos(-0.60225303) × R
    0.000383490000000014 × 0.824061364793716 × 6371000     		do = 2013.35891433167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13307283--0.13268934) × cos(-0.60256902) × R
    0.000383490000000014 × 0.82388231514847 × 6371000     		du = 2012.92145759026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60225303)-sin(-0.60256902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824061364793716-0.82388231514847)×R²
    abs(-0.13268934--0.13307283)×0.000179049645246843×R²
    0.000383490000000014×0.000179049645246843×6371000²
    0.000383490000000014×0.000179049645246843×40589641000000     		ar = 4052798.07198542m²