Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7845 / 9613
↖ ↑ ↗
← S 29.783450°
W  7.624512°		 ← 2 120.49 m → S 29.783450°
W  7.602539°		 →
↑
2 120.27 m
↓
↑
2 120.27 m
↓
S 29.802518°
W  7.624512°		 ← 2 120.08 m →
4 495 576 m²		 S 29.802518°
W  7.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478851318359375 y=0.586761474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478851318359375 × 214)
    floor (0.478851318359375 × 16384)
    floor (7845.5)     		tx = 7845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586761474609375 × 214)
    floor (0.586761474609375 × 16384)
    floor (9613.5)     		ty = 9613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7845 / 9613 ti = "14/7845/9613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7845/9613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7845 ÷ 214
    7845 ÷ 16384     		x = 0.47882080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9613 ÷ 214
    9613 ÷ 16384     		y = 0.58673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47882080078125 × 2 - 1) × π
    -0.0423583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13307283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58673095703125 × 2 - 1) × π
    -0.1734619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.544946674880798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13307283} λ = -0.13307283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544946674880798))-π/2
    2×atan(0.579872704296486)-π/2
    2×0.525488535592789-π/2
    1.05097707118558-1.57079632675     		φ = -0.51981926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13307283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.624512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51981926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.783450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7845 KachelY 9613 -0.13307283 -0.51981926 -7.624512 -29.783450
    Oben rechts KachelX + 1 7846 KachelY 9613 -0.13268934 -0.51981926 -7.602539 -29.783450
    Unten links KachelX 7845 KachelY + 1 9614 -0.13307283 -0.52015206 -7.624512 -29.802518
    Unten rechts KachelX + 1 7846 KachelY + 1 9614 -0.13268934 -0.52015206 -7.602539 -29.802518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51981926--0.52015206) × R
    0.000332800000000022 × 6371000     		dl = 2120.26880000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51981926--0.52015206) × R
    0.000332800000000022 × 6371000     		dr = 2120.26880000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13307283--0.13268934) × cos(-0.51981926) × R
    0.000383490000000014 × 0.867908971618773 × 6371000     		do = 2120.48803583275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13307283--0.13268934) × cos(-0.52015206) × R
    0.000383490000000014 × 0.867743614051217 × 6371000     		du = 2120.08403177806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51981926)-sin(-0.52015206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867908971618773-0.867743614051217)×R²
    abs(-0.13268934--0.13307283)×0.000165357567555646×R²
    0.000383490000000014×0.000165357567555646×6371000²
    0.000383490000000014×0.000165357567555646×40589641000000     		ar = 4495576.36604599m²