Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7845 / 8359
↖ ↑ ↗
← N 78.997626°
W136.906128°		 ← 116.58 m → N 78.997626°
W136.900634°		 →
↑
116.53 m
↓
↑
116.53 m
↓
N 78.996578°
W136.906128°		 ← 116.59 m →
13 585 m²		 N 78.996578°
W136.900634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119712829589844 y=0.127555847167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119712829589844 × 216)
    floor (0.119712829589844 × 65536)
    floor (7845.5)     		tx = 7845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127555847167969 × 216)
    floor (0.127555847167969 × 65536)
    floor (8359.5)     		ty = 8359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7845 / 8359 ti = "16/7845/8359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7845/8359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7845 ÷ 216
    7845 ÷ 65536     		x = 0.119705200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8359 ÷ 216
    8359 ÷ 65536     		y = 0.127548217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119705200195312 × 2 - 1) × π
    -0.760589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38946270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127548217773438 × 2 - 1) × π
    0.744903564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3401835656519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38946270} λ = -2.38946270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3401835656519))-π/2
    2×atan(10.3831423761046)-π/2
    2×1.47478250084699-π/2
    2.94956500169397-1.57079632675     		φ = 1.37876867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38946270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.906128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37876867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.997626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7845 KachelY 8359 -2.38946270 1.37876867 -136.906128 78.997626
    Oben rechts KachelX + 1 7846 KachelY 8359 -2.38936682 1.37876867 -136.900634 78.997626
    Unten links KachelX 7845 KachelY + 1 8360 -2.38946270 1.37875038 -136.906128 78.996578
    Unten rechts KachelX + 1 7846 KachelY + 1 8360 -2.38936682 1.37875038 -136.900634 78.996578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37876867-1.37875038) × R
    1.82899999998654e-05 × 6371000     		dl = 116.525589999142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37876867-1.37875038) × R
    1.82899999998654e-05 × 6371000     		dr = 116.525589999142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38946270--2.38936682) × cos(1.37876867) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.190849672935693 × 6371000     		do = 116.580805170747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38946270--2.38936682) × cos(1.37875038) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.190867626720321 × 6371000     		du = 116.591772266659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37876867)-sin(1.37875038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190849672935693-0.190867626720321)×R²
    abs(-2.38936682--2.38946270)×1.79537846287103e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.79537846287103e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.79537846287103e-05×40589641000000     		ar = 13585.2860790676m²