Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7845 / 8356
↖ ↑ ↗
← N 79.000771°
W136.906128°		 ← 116.55 m → N 79.000771°
W136.900634°		 →
↑
116.53 m
↓
↑
116.53 m
↓
N 78.999723°
W136.906128°		 ← 116.56 m →
13 581 m²		 N 78.999723°
W136.900634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119712829589844 y=0.127510070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119712829589844 × 216)
    floor (0.119712829589844 × 65536)
    floor (7845.5)     		tx = 7845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127510070800781 × 216)
    floor (0.127510070800781 × 65536)
    floor (8356.5)     		ty = 8356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7845 / 8356 ti = "16/7845/8356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7845/8356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7845 ÷ 216
    7845 ÷ 65536     		x = 0.119705200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8356 ÷ 216
    8356 ÷ 65536     		y = 0.12750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119705200195312 × 2 - 1) × π
    -0.760589599609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.38946270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12750244140625 × 2 - 1) × π
    0.7449951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34047118704962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38946270} λ = -2.38946270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34047118704962))-π/2
    2×atan(10.386129219547)-π/2
    2×1.47480994319698-π/2
    2.94961988639396-1.57079632675     		φ = 1.37882356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38946270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.906128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37882356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.000771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7845 KachelY 8356 -2.38946270 1.37882356 -136.906128 79.000771
    Oben rechts KachelX + 1 7846 KachelY 8356 -2.38936682 1.37882356 -136.900634 79.000771
    Unten links KachelX 7845 KachelY + 1 8357 -2.38946270 1.37880527 -136.906128 78.999723
    Unten rechts KachelX + 1 7846 KachelY + 1 8357 -2.38936682 1.37880527 -136.900634 78.999723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37882356-1.37880527) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dl = 116.525590000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37882356-1.37880527) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dr = 116.525590000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38946270--2.38936682) × cos(1.37882356) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.190795791566172 × 6371000     		do = 116.547891656431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38946270--2.38936682) × cos(1.37880527) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.190813745542384 × 6371000     		du = 116.558858869372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37882356)-sin(1.37880527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190795791566172-0.190813745542384)×R²
    abs(-2.38936682--2.38946270)×1.79539762121539e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.79539762121539e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.79539762121539e-05×40589641000000     		ar = 13581.4508193199m²