Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78448 / 60111
↖ ↑ ↗
← N 14.735042°
E 35.463867°		 ← 295.32 m → N 14.735042°
E 35.466613°		 →
↑
295.36 m
↓
↑
295.36 m
↓
N 14.732386°
E 35.463867°		 ← 295.32 m →
87 226 m²		 N 14.732386°
E 35.466613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598514556884766 y=0.458614349365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598514556884766 × 217)
    floor (0.598514556884766 × 131072)
    floor (78448.5)     		tx = 78448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458614349365234 × 217)
    floor (0.458614349365234 × 131072)
    floor (60111.5)     		ty = 60111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78448 / 60111 ti = "17/78448/60111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78448/60111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78448 ÷ 217
    78448 ÷ 131072     		x = 0.5985107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60111 ÷ 217
    60111 ÷ 131072     		y = 0.458610534667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5985107421875 × 2 - 1) × π
    0.197021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.61896125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458610534667969 × 2 - 1) × π
    0.0827789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.260057680438805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61896125} λ = 0.61896125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.260057680438805))-π/2
    2×atan(1.29700489631978)-π/2
    2×0.913985665617389-π/2
    1.82797133123478-1.57079632675     		φ = 0.25717500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61896125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.463867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25717500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.735042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78448 KachelY 60111 0.61896125 0.25717500 35.463867 14.735042
    Oben rechts KachelX + 1 78449 KachelY 60111 0.61900918 0.25717500 35.466613 14.735042
    Unten links KachelX 78448 KachelY + 1 60112 0.61896125 0.25712864 35.463867 14.732386
    Unten rechts KachelX + 1 78449 KachelY + 1 60112 0.61900918 0.25712864 35.466613 14.732386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25717500-0.25712864) × R
    4.63599999999675e-05 × 6371000     		dl = 295.359559999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25717500-0.25712864) × R
    4.63599999999675e-05 × 6371000     		dr = 295.359559999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61896125-0.61900918) × cos(0.25717500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.967112373532172 × 6371000     		do = 295.319397620083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61896125-0.61900918) × cos(0.25712864) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.967124164134685 × 6371000     		du = 295.322998022402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25717500)-sin(0.25712864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967112373532172-0.967124164134685)×R²
    abs(0.61900918-0.61896125)×1.17906025131065e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.17906025131065e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.17906025131065e-05×40589641000000     		ar = 87225.9390626819m²