Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78441 / 60009
↖ ↑ ↗
← N 15.005811°
E 35.444641°		 ← 295.01 m → N 15.005811°
E 35.447388°		 →
↑
295.04 m
↓
↑
295.04 m
↓
N 15.003158°
E 35.444641°		 ← 295.01 m →
87 041 m²		 N 15.003158°
E 35.447388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598461151123047 y=0.457836151123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598461151123047 × 217)
    floor (0.598461151123047 × 131072)
    floor (78441.5)     		tx = 78441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457836151123047 × 217)
    floor (0.457836151123047 × 131072)
    floor (60009.5)     		ty = 60009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78441 / 60009 ti = "17/78441/60009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78441/60009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78441 ÷ 217
    78441 ÷ 131072     		x = 0.598457336425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60009 ÷ 217
    60009 ÷ 131072     		y = 0.457832336425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598457336425781 × 2 - 1) × π
    0.196914672851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.61862569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457832336425781 × 2 - 1) × π
    0.0843353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.26494724420005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61862569} λ = 0.61862569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26494724420005))-π/2
    2×atan(1.30336221404837)-π/2
    2×0.916348565993978-π/2
    1.83269713198796-1.57079632675     		φ = 0.26190081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61862569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.444641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26190081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.005811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78441 KachelY 60009 0.61862569 0.26190081 35.444641 15.005811
    Oben rechts KachelX + 1 78442 KachelY 60009 0.61867363 0.26190081 35.447388 15.005811
    Unten links KachelX 78441 KachelY + 1 60010 0.61862569 0.26185450 35.444641 15.003158
    Unten rechts KachelX + 1 78442 KachelY + 1 60010 0.61867363 0.26185450 35.447388 15.003158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26190081-0.26185450) × R
    4.63099999999939e-05 × 6371000     		dl = 295.041009999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26190081-0.26185450) × R
    4.63099999999939e-05 × 6371000     		dr = 295.041009999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61862569-0.61867363) × cos(0.26190081) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965899571323957 × 6371000     		do = 295.010591337109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61862569-0.61867363) × cos(0.26185450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965911560734948 × 6371000     		du = 295.014253211833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26190081)-sin(0.26185450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965899571323957-0.965911560734948)×R²
    abs(0.61867363-0.61862569)×1.19894109913421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.19894109913421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.19894109913421e-05×40589641000000     		ar = 87040.7630459906m²