Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78436 / 60131
↖ ↑ ↗
← N 14.681911°
E 35.430908°		 ← 295.39 m → N 14.681911°
E 35.433655°		 →
↑
295.42 m
↓
↑
295.42 m
↓
N 14.679254°
E 35.430908°		 ← 295.39 m →
87 266 m²		 N 14.679254°
E 35.433655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598423004150391 y=0.458766937255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598423004150391 × 217)
    floor (0.598423004150391 × 131072)
    floor (78436.5)     		tx = 78436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458766937255859 × 217)
    floor (0.458766937255859 × 131072)
    floor (60131.5)     		ty = 60131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78436 / 60131 ti = "17/78436/60131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78436/60131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78436 ÷ 217
    78436 ÷ 131072     		x = 0.598419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60131 ÷ 217
    60131 ÷ 131072     		y = 0.458763122558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598419189453125 × 2 - 1) × π
    0.19683837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.61838601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458763122558594 × 2 - 1) × π
    0.0824737548828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.259098942446404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61838601} λ = 0.61838601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259098942446404))-π/2
    2×atan(1.29576200434842)-π/2
    2×0.913522005466145-π/2
    1.82704401093229-1.57079632675     		φ = 0.25624768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61838601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.430908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25624768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.681911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78436 KachelY 60131 0.61838601 0.25624768 35.430908 14.681911
    Oben rechts KachelX + 1 78437 KachelY 60131 0.61843394 0.25624768 35.433655 14.681911
    Unten links KachelX 78436 KachelY + 1 60132 0.61838601 0.25620131 35.430908 14.679254
    Unten rechts KachelX + 1 78437 KachelY + 1 60132 0.61843394 0.25620131 35.433655 14.679254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25624768-0.25620131) × R
    4.63699999999623e-05 × 6371000     		dl = 295.42326999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25624768-0.25620131) × R
    4.63699999999623e-05 × 6371000     		dr = 295.42326999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61838601-0.61843394) × cos(0.25624768) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.967347821035553 × 6371000     		do = 295.39129434699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61838601-0.61843394) × cos(0.25620131) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.967359572590128 × 6371000     		du = 295.39488282555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25624768)-sin(0.25620131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967347821035553-0.967359572590128)×R²
    abs(0.61843394-0.61838601)×1.17515545752234e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.17515545752234e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.17515545752234e-05×40589641000000     		ar = 87265.9921810949m²