Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78434 / 60002
↖ ↑ ↗
← N 15.024381°
E 35.425415°		 ← 294.98 m → N 15.024381°
E 35.428162°		 →
↑
294.98 m
↓
↑
294.98 m
↓
N 15.021728°
E 35.425415°		 ← 294.99 m →
87 014 m²		 N 15.021728°
E 35.428162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598407745361328 y=0.457782745361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598407745361328 × 217)
    floor (0.598407745361328 × 131072)
    floor (78434.5)     		tx = 78434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457782745361328 × 217)
    floor (0.457782745361328 × 131072)
    floor (60002.5)     		ty = 60002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78434 / 60002 ti = "17/78434/60002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78434/60002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78434 ÷ 217
    78434 ÷ 131072     		x = 0.598403930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60002 ÷ 217
    60002 ÷ 131072     		y = 0.457778930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598403930664062 × 2 - 1) × π
    0.196807861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61829013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457778930664062 × 2 - 1) × π
    0.084442138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.265282802497391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61829013} λ = 0.61829013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265282802497391))-π/2
    2×atan(1.30379964144082)-π/2
    2×0.916510616759398-π/2
    1.8330212335188-1.57079632675     		φ = 0.26222491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61829013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.425415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26222491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.024381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78434 KachelY 60002 0.61829013 0.26222491 35.425415 15.024381
    Oben rechts KachelX + 1 78435 KachelY 60002 0.61833807 0.26222491 35.428162 15.024381
    Unten links KachelX 78434 KachelY + 1 60003 0.61829013 0.26217861 35.425415 15.021728
    Unten rechts KachelX + 1 78435 KachelY + 1 60003 0.61833807 0.26217861 35.428162 15.021728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26222491-0.26217861) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dl = 294.977299999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26222491-0.26217861) × R
    4.62999999999991e-05 × 6371000     		dr = 294.977299999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61829013-0.61833807) × cos(0.26222491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965815605593018 × 6371000     		do = 294.984946041602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61829013-0.61833807) × cos(0.26217861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965827606908872 × 6371000     		du = 294.988611552378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26222491)-sin(0.26217861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965815605593018-0.965827606908872)×R²
    abs(0.61833807-0.61829013)×1.20013158534382e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20013158534382e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20013158534382e-05×40589641000000     		ar = 87014.4035607276m²