Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78433 / 60001
↖ ↑ ↗
← N 15.027033°
E 35.422668°		 ← 294.98 m → N 15.027033°
E 35.425415°		 →
↑
294.91 m
↓
↑
294.91 m
↓
N 15.024381°
E 35.422668°		 ← 294.98 m →
86 995 m²		 N 15.024381°
E 35.425415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598400115966797 y=0.457775115966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598400115966797 × 217)
    floor (0.598400115966797 × 131072)
    floor (78433.5)     		tx = 78433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457775115966797 × 217)
    floor (0.457775115966797 × 131072)
    floor (60001.5)     		ty = 60001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78433 / 60001 ti = "17/78433/60001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78433/60001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78433 ÷ 217
    78433 ÷ 131072     		x = 0.598396301269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60001 ÷ 217
    60001 ÷ 131072     		y = 0.457771301269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598396301269531 × 2 - 1) × π
    0.196792602539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.61824219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457771301269531 × 2 - 1) × π
    0.0844573974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.265330739397011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61824219} λ = 0.61824219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265330739397011))-π/2
    2×atan(1.30386214305141)-π/2
    2×0.916533765718446-π/2
    1.83306753143689-1.57079632675     		φ = 0.26227120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61824219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.422668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26227120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.027033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78433 KachelY 60001 0.61824219 0.26227120 35.422668 15.027033
    Oben rechts KachelX + 1 78434 KachelY 60001 0.61829013 0.26227120 35.425415 15.027033
    Unten links KachelX 78433 KachelY + 1 60002 0.61824219 0.26222491 35.422668 15.024381
    Unten rechts KachelX + 1 78434 KachelY + 1 60002 0.61829013 0.26222491 35.425415 15.024381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26227120-0.26222491) × R
    4.62900000000044e-05 × 6371000     		dl = 294.913590000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26227120-0.26222491) × R
    4.62900000000044e-05 × 6371000     		dr = 294.913590000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61824219-0.61829013) × cos(0.26227120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965803604799503 × 6371000     		do = 294.981280690362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61824219-0.61829013) × cos(0.26222491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965815605593018 × 6371000     		du = 294.984946041602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26227120)-sin(0.26222491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965803604799503-0.965815605593018)×R²
    abs(0.61829013-0.61824219)×1.20007935150435e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20007935150435e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20007935150435e-05×40589641000000     		ar = 86994.5289676992m²