Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78431 / 60121
↖ ↑ ↗
← N 14.708478°
E 35.417175°		 ← 295.42 m → N 14.708478°
E 35.419922°		 →
↑
295.36 m
↓
↑
295.36 m
↓
N 14.705822°
E 35.417175°		 ← 295.42 m →
87 255 m²		 N 14.705822°
E 35.419922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598384857177734 y=0.458690643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598384857177734 × 217)
    floor (0.598384857177734 × 131072)
    floor (78431.5)     		tx = 78431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458690643310547 × 217)
    floor (0.458690643310547 × 131072)
    floor (60121.5)     		ty = 60121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78431 / 60121 ti = "17/78431/60121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78431/60121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78431 ÷ 217
    78431 ÷ 131072     		x = 0.598381042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60121 ÷ 217
    60121 ÷ 131072     		y = 0.458686828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598381042480469 × 2 - 1) × π
    0.196762084960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.61814632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458686828613281 × 2 - 1) × π
    0.0826263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.259578311442604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61814632} λ = 0.61814632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259578311442604))-π/2
    2×atan(1.29638330138313)-π/2
    2×0.913753849650052-π/2
    1.8275076993001-1.57079632675     		φ = 0.25671137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61814632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.417175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25671137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.708478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78431 KachelY 60121 0.61814632 0.25671137 35.417175 14.708478
    Oben rechts KachelX + 1 78432 KachelY 60121 0.61819426 0.25671137 35.419922 14.708478
    Unten links KachelX 78431 KachelY + 1 60122 0.61814632 0.25666501 35.417175 14.705822
    Unten rechts KachelX + 1 78432 KachelY + 1 60122 0.61819426 0.25666501 35.419922 14.705822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25671137-0.25666501) × R
    4.63599999999675e-05 × 6371000     		dl = 295.359559999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25671137-0.25666501) × R
    4.63599999999675e-05 × 6371000     		dr = 295.359559999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61814632-0.61819426) × cos(0.25671137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967230193634691 × 6371000     		do = 295.416997641025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61814632-0.61819426) × cos(0.25666501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.967241963448807 × 6371000     		du = 295.420592445211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25671137)-sin(0.25666501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967230193634691-0.967241963448807)×R²
    abs(0.61819426-0.61814632)×1.17698141159917e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.17698141159917e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.17698141159917e-05×40589641000000     		ar = 87254.765335289m²