Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78430 / 59582
↖ ↑ ↗
← N 16.135539°
E 35.414428°		 ← 293.39 m → N 16.135539°
E 35.417175°		 →
↑
293.38 m
↓
↑
293.38 m
↓
N 16.132900°
E 35.414428°		 ← 293.40 m →
86 078 m²		 N 16.132900°
E 35.417175°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598377227783203 y=0.454578399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598377227783203 × 217)
    floor (0.598377227783203 × 131072)
    floor (78430.5)     		tx = 78430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454578399658203 × 217)
    floor (0.454578399658203 × 131072)
    floor (59582.5)     		ty = 59582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78430 / 59582 ti = "17/78430/59582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78430/59582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78430 ÷ 217
    78430 ÷ 131072     		x = 0.598373413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59582 ÷ 217
    59582 ÷ 131072     		y = 0.454574584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598373413085938 × 2 - 1) × π
    0.196746826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.61809838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454574584960938 × 2 - 1) × π
    0.090850830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.285416300337814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61809838} λ = 0.61809838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.285416300337814))-π/2
    2×atan(1.33031572374683)-π/2
    2×0.92620730318601-π/2
    1.85241460637202-1.57079632675     		φ = 0.28161828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61809838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.414428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28161828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.135539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78430 KachelY 59582 0.61809838 0.28161828 35.414428 16.135539
    Oben rechts KachelX + 1 78431 KachelY 59582 0.61814632 0.28161828 35.417175 16.135539
    Unten links KachelX 78430 KachelY + 1 59583 0.61809838 0.28157223 35.414428 16.132900
    Unten rechts KachelX + 1 78431 KachelY + 1 59583 0.61814632 0.28157223 35.417175 16.132900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28161828-0.28157223) × R
    4.60500000000197e-05 × 6371000     		dl = 293.384550000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28161828-0.28157223) × R
    4.60500000000197e-05 × 6371000     		dr = 293.384550000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61809838-0.61814632) × cos(0.28161828) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.960606959266804 × 6371000     		do = 293.3940913837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61809838-0.61814632) × cos(0.28157223) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.960619756028763 × 6371000     		du = 293.397999844191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28161828)-sin(0.28157223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960606959266804-0.960619756028763)×R²
    abs(0.61814632-0.61809838)×1.27967619593106e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.27967619593106e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.27967619593106e-05×40589641000000     		ar = 86077.866829452m²