Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7843 / 8355
↖ ↑ ↗
← N 79.001819°
W136.917114°		 ← 116.54 m → N 79.001819°
W136.911621°		 →
↑
116.53 m
↓
↑
116.53 m
↓
N 79.000771°
W136.917114°		 ← 116.55 m →
13 580 m²		 N 79.000771°
W136.911621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119682312011719 y=0.127494812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119682312011719 × 216)
    floor (0.119682312011719 × 65536)
    floor (7843.5)     		tx = 7843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127494812011719 × 216)
    floor (0.127494812011719 × 65536)
    floor (8355.5)     		ty = 8355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7843 / 8355 ti = "16/7843/8355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7843/8355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7843 ÷ 216
    7843 ÷ 65536     		x = 0.119674682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8355 ÷ 216
    8355 ÷ 65536     		y = 0.127487182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119674682617188 × 2 - 1) × π
    -0.760650634765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.38965445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127487182617188 × 2 - 1) × π
    0.745025634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34056706084886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38965445} λ = -2.38965445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34056706084886))-π/2
    2×atan(10.3871250249497)-π/2
    2×1.47481908892533-π/2
    2.94963817785067-1.57079632675     		φ = 1.37884185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38965445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.917114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37884185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.001819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7843 KachelY 8355 -2.38965445 1.37884185 -136.917114 79.001819
    Oben rechts KachelX + 1 7844 KachelY 8355 -2.38955857 1.37884185 -136.911621 79.001819
    Unten links KachelX 7843 KachelY + 1 8356 -2.38965445 1.37882356 -136.917114 79.000771
    Unten rechts KachelX + 1 7844 KachelY + 1 8356 -2.38955857 1.37882356 -136.911621 79.000771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37884185-1.37882356) × R
    1.82899999998654e-05 × 6371000     		dl = 116.525589999142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37884185-1.37882356) × R
    1.82899999998654e-05 × 6371000     		dr = 116.525589999142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38965445--2.38955857) × cos(1.37884185) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190777837526134 × 6371000     		do = 116.536924403962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38965445--2.38955857) × cos(1.37882356) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.190795791566172 × 6371000     		du = 116.547891655891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37884185)-sin(1.37882356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190777837526134-0.190795791566172)×R²
    abs(-2.38955857--2.38965445)×1.79540400377376e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.79540400377376e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.79540400377376e-05×40589641000000     		ar = 13580.1728561825m²