Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7843 / 3297
↖ ↑ ↗
← N 72.600551°
W  7.668457°		 ← 730.60 m → N 72.600551°
W  7.646484°		 →
↑
730.75 m
↓
↑
730.75 m
↓
N 72.593980°
W  7.668457°		 ← 730.87 m →
533 985 m²		 N 72.593980°
W  7.646484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.478729248046875 y=0.201263427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.478729248046875 × 214)
    floor (0.478729248046875 × 16384)
    floor (7843.5)     		tx = 7843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201263427734375 × 214)
    floor (0.201263427734375 × 16384)
    floor (3297.5)     		ty = 3297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7843 / 3297 ti = "14/7843/3297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7843/3297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7843 ÷ 214
    7843 ÷ 16384     		x = 0.47869873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3297 ÷ 214
    3297 ÷ 16384     		y = 0.20123291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47869873046875 × 2 - 1) × π
    -0.0426025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13383982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20123291015625 × 2 - 1) × π
    0.5975341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.8772089891214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13383982} λ = -0.13383982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8772089891214))-π/2
    2×atan(6.5352394601526)-π/2
    2×1.41895749097423-π/2
    2.83791498194845-1.57079632675     		φ = 1.26711866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13383982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.668457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26711866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.600551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7843 KachelY 3297 -0.13383982 1.26711866 -7.668457 72.600551
    Oben rechts KachelX + 1 7844 KachelY 3297 -0.13345633 1.26711866 -7.646484 72.600551
    Unten links KachelX 7843 KachelY + 1 3298 -0.13383982 1.26700396 -7.668457 72.593980
    Unten rechts KachelX + 1 7844 KachelY + 1 3298 -0.13345633 1.26700396 -7.646484 72.593980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26711866-1.26700396) × R
    0.000114699999999912 × 6371000     		dl = 730.75369999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26711866-1.26700396) × R
    0.000114699999999912 × 6371000     		dr = 730.75369999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13383982--0.13345633) × cos(1.26711866) × R
    0.000383489999999986 × 0.299031609537828 × 6371000     		do = 730.598451100299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13383982--0.13345633) × cos(1.26700396) × R
    0.000383489999999986 × 0.29914105926629 × 6371000     		du = 730.865860295641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26711866)-sin(1.26700396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299031609537828-0.29914105926629)×R²
    abs(-0.13345633--0.13383982)×0.000109449728462774×R²
    0.000383489999999986×0.000109449728462774×6371000²
    0.000383489999999986×0.000109449728462774×40589641000000     		ar = 533985.227070439m²