Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7843 / 10787
↖ ↑ ↗
← N 76.139011°
W136.917114°		 ← 146.34 m → N 76.139011°
W136.911621°		 →
↑
146.34 m
↓
↑
146.34 m
↓
N 76.137695°
W136.917114°		 ← 146.35 m →
21 417 m²		 N 76.137695°
W136.911621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.119682312011719 y=0.164604187011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.119682312011719 × 216)
    floor (0.119682312011719 × 65536)
    floor (7843.5)     		tx = 7843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164604187011719 × 216)
    floor (0.164604187011719 × 65536)
    floor (10787.5)     		ty = 10787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7843 / 10787 ti = "16/7843/10787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7843/10787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7843 ÷ 216
    7843 ÷ 65536     		x = 0.119674682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10787 ÷ 216
    10787 ÷ 65536     		y = 0.164596557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.119674682617188 × 2 - 1) × π
    -0.760650634765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.38965445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164596557617188 × 2 - 1) × π
    0.670806884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10740198109691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.38965445} λ = -2.38965445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10740198109691))-π/2
    2×atan(8.22684001034719)-π/2
    2×1.44983637960477-π/2
    2.89967275920953-1.57079632675     		φ = 1.32887643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.38965445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -136.917114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32887643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.139011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7843 KachelY 10787 -2.38965445 1.32887643 -136.917114 76.139011
    Oben rechts KachelX + 1 7844 KachelY 10787 -2.38955857 1.32887643 -136.911621 76.139011
    Unten links KachelX 7843 KachelY + 1 10788 -2.38965445 1.32885346 -136.917114 76.137695
    Unten rechts KachelX + 1 7844 KachelY + 1 10788 -2.38955857 1.32885346 -136.911621 76.137695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32887643-1.32885346) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dl = 146.341870000424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32887643-1.32885346) × R
    2.29700000000665e-05 × 6371000     		dr = 146.341870000424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.38965445--2.38955857) × cos(1.32887643) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.239567055859916 × 6371000     		do = 146.339890631177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.38965445--2.38955857) × cos(1.32885346) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.23958935690619 × 6371000     		du = 146.353513258298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32887643)-sin(1.32885346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239567055859916-0.23958935690619)×R²
    abs(-2.38955857--2.38965445)×2.23010462734319e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.23010462734319e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.23010462734319e-05×40589641000000     		ar = 21416.6500320447m²