Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78419 / 60123
↖ ↑ ↗
← N 14.703165°
E 35.384216°		 ← 295.36 m → N 14.703165°
E 35.386963°		 →
↑
295.42 m
↓
↑
295.42 m
↓
N 14.700508°
E 35.384216°		 ← 295.37 m →
87 258 m²		 N 14.700508°
E 35.386963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598293304443359 y=0.458705902099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598293304443359 × 217)
    floor (0.598293304443359 × 131072)
    floor (78419.5)     		tx = 78419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458705902099609 × 217)
    floor (0.458705902099609 × 131072)
    floor (60123.5)     		ty = 60123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78419 / 60123 ti = "17/78419/60123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78419/60123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78419 ÷ 217
    78419 ÷ 131072     		x = 0.598289489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60123 ÷ 217
    60123 ÷ 131072     		y = 0.458702087402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598289489746094 × 2 - 1) × π
    0.196578979492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.61757108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458702087402344 × 2 - 1) × π
    0.0825958251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.259482437643364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61757108} λ = 0.61757108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259482437643364))-π/2
    2×atan(1.29625901814861)-π/2
    2×0.913707483069111-π/2
    1.82741496613822-1.57079632675     		φ = 0.25661864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61757108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.384216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25661864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.703165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78419 KachelY 60123 0.61757108 0.25661864 35.384216 14.703165
    Oben rechts KachelX + 1 78420 KachelY 60123 0.61761901 0.25661864 35.386963 14.703165
    Unten links KachelX 78419 KachelY + 1 60124 0.61757108 0.25657227 35.384216 14.700508
    Unten rechts KachelX + 1 78420 KachelY + 1 60124 0.61761901 0.25657227 35.386963 14.700508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25661864-0.25657227) × R
    4.63700000000178e-05 × 6371000     		dl = 295.423270000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25661864-0.25657227) × R
    4.63700000000178e-05 × 6371000     		dr = 295.423270000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61757108-0.61761901) × cos(0.25661864) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.967253733722193 × 6371000     		do = 295.362563653985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61757108-0.61761901) × cos(0.25657227) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.967265501915812 × 6371000     		du = 295.366157213478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25661864)-sin(0.25657227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967253733722193-0.967265501915812)×R²
    abs(0.61761901-0.61757108)×1.17681936188108e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.17681936188108e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.17681936188108e-05×40589641000000     		ar = 87257.5052165116m²