Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 78416 / 60113
↖ ↑ ↗
← N 14.729730°
E 35.375977°		 ← 295.33 m → N 14.729730°
E 35.378723°		 →
↑
295.36 m
↓
↑
295.36 m
↓
N 14.727073°
E 35.375977°		 ← 295.33 m →
87 228 m²		 N 14.727073°
E 35.378723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598270416259766 y=0.458629608154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598270416259766 × 217)
    floor (0.598270416259766 × 131072)
    floor (78416.5)     		tx = 78416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458629608154297 × 217)
    floor (0.458629608154297 × 131072)
    floor (60113.5)     		ty = 60113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78416 / 60113 ti = "17/78416/60113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78416/60113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78416 ÷ 217
    78416 ÷ 131072     		x = 0.5982666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60113 ÷ 217
    60113 ÷ 131072     		y = 0.458625793457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5982666015625 × 2 - 1) × π
    0.196533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61742727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458625793457031 × 2 - 1) × π
    0.0827484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.259961806639565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61742727} λ = 0.61742727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.259961806639565))-π/2
    2×atan(1.29688055349344)-π/2
    2×0.913939304683475-π/2
    1.82787860936695-1.57079632675     		φ = 0.25708228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61742727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.375977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25708228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.729730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78416 KachelY 60113 0.61742727 0.25708228 35.375977 14.729730
    Oben rechts KachelX + 1 78417 KachelY 60113 0.61747520 0.25708228 35.378723 14.729730
    Unten links KachelX 78416 KachelY + 1 60114 0.61742727 0.25703592 35.375977 14.727073
    Unten rechts KachelX + 1 78417 KachelY + 1 60114 0.61747520 0.25703592 35.378723 14.727073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25708228-0.25703592) × R
    4.6360000000023e-05 × 6371000     		dl = 295.359560000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25708228-0.25703592) × R
    4.6360000000023e-05 × 6371000     		dr = 295.359560000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61742727-0.61747520) × cos(0.25708228) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.967135952658607 × 6371000     		do = 295.326597789997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61742727-0.61747520) × cos(0.25703592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.967147739103913 × 6371000     		du = 295.330196922862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25708228)-sin(0.25703592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967135952658607-0.967147739103913)×R²
    abs(0.61747520-0.61742727)×1.17864453054173e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.17864453054173e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.17864453054173e-05×40589641000000     		ar = 87228.0655143452m²