Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78415 / 59586
↖ ↑ ↗
← N 16.124985°
E 35.373230°		 ← 293.41 m → N 16.124985°
E 35.375977°		 →
↑
293.38 m
↓
↑
293.38 m
↓
N 16.122347°
E 35.373230°		 ← 293.41 m →
86 082 m²		 N 16.122347°
E 35.375977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598262786865234 y=0.454608917236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598262786865234 × 217)
    floor (0.598262786865234 × 131072)
    floor (78415.5)     		tx = 78415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454608917236328 × 217)
    floor (0.454608917236328 × 131072)
    floor (59586.5)     		ty = 59586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78415 / 59586 ti = "17/78415/59586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78415/59586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78415 ÷ 217
    78415 ÷ 131072     		x = 0.598258972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59586 ÷ 217
    59586 ÷ 131072     		y = 0.454605102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598258972167969 × 2 - 1) × π
    0.196517944335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.61737933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454605102539062 × 2 - 1) × π
    0.090789794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.285224552739334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61737933} λ = 0.61737933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.285224552739334))-π/2
    2×atan(1.33006066335598)-π/2
    2×0.92611520369385-π/2
    1.8522304073877-1.57079632675     		φ = 0.28143408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61737933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.373230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28143408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.124985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78415 KachelY 59586 0.61737933 0.28143408 35.373230 16.124985
    Oben rechts KachelX + 1 78416 KachelY 59586 0.61742727 0.28143408 35.375977 16.124985
    Unten links KachelX 78415 KachelY + 1 59587 0.61737933 0.28138803 35.373230 16.122347
    Unten rechts KachelX + 1 78416 KachelY + 1 59587 0.61742727 0.28138803 35.375977 16.122347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28143408-0.28138803) × R
    4.60499999999642e-05 × 6371000     		dl = 293.384549999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28143408-0.28138803) × R
    4.60499999999642e-05 × 6371000     		dr = 293.384549999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61737933-0.61742727) × cos(0.28143408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.960658134091977 × 6371000     		do = 293.409721491869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61737933-0.61742727) × cos(0.28138803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.960670922705403 × 6371000     		du = 293.413627463588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28143408)-sin(0.28138803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960658134091977-0.960670922705403)×R²
    abs(0.61742727-0.61737933)×1.2788613426018e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.2788613426018e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.2788613426018e-05×40589641000000     		ar = 86082.4520965915m²