Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78409 / 59593
↖ ↑ ↗
← N 16.106515°
E 35.356751°		 ← 293.44 m → N 16.106515°
E 35.359497°		 →
↑
293.45 m
↓
↑
293.45 m
↓
N 16.103876°
E 35.356751°		 ← 293.44 m →
86 109 m²		 N 16.103876°
E 35.359497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598217010498047 y=0.454662322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598217010498047 × 217)
    floor (0.598217010498047 × 131072)
    floor (78409.5)     		tx = 78409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454662322998047 × 217)
    floor (0.454662322998047 × 131072)
    floor (59593.5)     		ty = 59593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78409 / 59593 ti = "17/78409/59593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78409/59593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78409 ÷ 217
    78409 ÷ 131072     		x = 0.598213195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59593 ÷ 217
    59593 ÷ 131072     		y = 0.454658508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.598213195800781 × 2 - 1) × π
    0.196426391601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.61709171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454658508300781 × 2 - 1) × π
    0.0906829833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.284888994441994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61709171} λ = 0.61709171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.284888994441994))-π/2
    2×atan(1.32961442533804)-π/2
    2×0.925954017781959-π/2
    1.85190803556392-1.57079632675     		φ = 0.28111171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61709171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.356751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28111171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.106515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78409 KachelY 59593 0.61709171 0.28111171 35.356751 16.106515
    Oben rechts KachelX + 1 78410 KachelY 59593 0.61713965 0.28111171 35.359497 16.106515
    Unten links KachelX 78409 KachelY + 1 59594 0.61709171 0.28106565 35.356751 16.103876
    Unten rechts KachelX + 1 78410 KachelY + 1 59594 0.61713965 0.28106565 35.359497 16.103876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28111171-0.28106565) × R
    4.60600000000144e-05 × 6371000     		dl = 293.448260000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28111171-0.28106565) × R
    4.60600000000144e-05 × 6371000     		dr = 293.448260000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61709171-0.61713965) × cos(0.28111171) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.960747617152263 × 6371000     		do = 293.437051922454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61709171-0.61713965) × cos(0.28106565) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.960760394277623 × 6371000     		du = 293.440954385422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28111171)-sin(0.28106565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960747617152263-0.960760394277623)×R²
    abs(0.61713965-0.61709171)×1.2777125360186e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.2777125360186e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.2777125360186e-05×40589641000000     		ar = 86109.1649069855m²