Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 78408 / 59588
↖ ↑ ↗
← N 16.119708°
E 35.354004°		 ← 293.42 m → N 16.119708°
E 35.356751°		 →
↑
293.45 m
↓
↑
293.45 m
↓
N 16.117069°
E 35.354004°		 ← 293.42 m →
86 103 m²		 N 16.117069°
E 35.356751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 78408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.598209381103516 y=0.454624176025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.598209381103516 × 217)
    floor (0.598209381103516 × 131072)
    floor (78408.5)     		tx = 78408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454624176025391 × 217)
    floor (0.454624176025391 × 131072)
    floor (59588.5)     		ty = 59588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 78408 / 59588 ti = "17/78408/59588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/78408/59588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 78408 ÷ 217
    78408 ÷ 131072     		x = 0.59820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59588 ÷ 217
    59588 ÷ 131072     		y = 0.454620361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59820556640625 × 2 - 1) × π
    0.1964111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61704377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.454620361328125 × 2 - 1) × π
    0.09075927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.285128678940094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61704377} λ = 0.61704377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.285128678940094))-π/2
    2×atan(1.32993315149958)-π/2
    2×0.926069152108266-π/2
    1.85213830421653-1.57079632675     		φ = 0.28134198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61704377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.354004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28134198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.119708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 78408 KachelY 59588 0.61704377 0.28134198 35.354004 16.119708
    Oben rechts KachelX + 1 78409 KachelY 59588 0.61709171 0.28134198 35.356751 16.119708
    Unten links KachelX 78408 KachelY + 1 59589 0.61704377 0.28129592 35.354004 16.117069
    Unten rechts KachelX + 1 78409 KachelY + 1 59589 0.61709171 0.28129592 35.356751 16.117069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28134198-0.28129592) × R
    4.60600000000144e-05 × 6371000     		dl = 293.448260000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28134198-0.28129592) × R
    4.60600000000144e-05 × 6371000     		dr = 293.448260000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61704377-0.61709171) × cos(0.28134198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.960683709281627 × 6371000     		do = 293.417532813094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61704377-0.61709171) × cos(0.28129592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.960696496596633 × 6371000     		du = 293.421438388242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28134198)-sin(0.28129592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.960683709281627-0.960696496596633)×R²
    abs(0.61709171-0.61704377)×1.27873150052027e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.27873150052027e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.27873150052027e-05×40589641000000     		ar = 86103.4375148735m²